Dimension,noyau et image

[kaito974]

Bonjour à tous j'aimerais savoir si mes réponses à cet éxercices sont correctes :Soient E1 et E2 deux sous espaces vectories de dimensiosn finies d'un espace vectoriel E. On définit l'application linéaire f par :

f : E1xE2 -> E
(x1,x2) -> x1+x2

Déterminer le noyau et l'image de f puis donner la dimension du noyau en fonction de E1 et E2

on a donc : Ker(f)={(x1,x2)/x1=-x2} et Im(f) correspond au sous espaces supplémentaires E1,E2
J'en déduit la dimension du noyau par le théoréme du rang :

Dim(ker(f))=Dim(E)-Dim(Im(f))=Dim(E)-Dim(E1+E2)=0 est ce correct?

[klevia]

salut,
pourquoi dim(E1+E2)= dim E ?

SI E1 est inclus dans E2 DIm (E1+E2)=dim E2 me semble-t-il ...

[klevia]

Je repondrais plutot ceci.

Im f est le sous espace E3 engendré par E1 et E2
c'est à dire x appartient à E3 si il existe x1 appartenant à E1 et x2 appartenant à X2 tel que x=x1+x2.

Si par exemple E1 inclus dans E2 alors im f = E2 car E2 sous groupe de E pour la loi + donc dim(Imf)=dim E2.

A toi de voir suivant les cas de (E1 inter E2) ce qui se passe.

De plus sauf erreur de ma part, le théorème du rang s'applique pour une fonction allant de E dans E (ou F)
or ici f va de (E1 x E2) dans E donc le theorème du rand n'est pas applicable avec E mais avec ( E1 x E2) d'ou encore la nécissité de connaitre (E1 inter E2)

J'espère ne pas avoir dit de bétises
Courage