1ere S : DM les fonctions

[Walter White]

C'est bien une fonction de la forme 1/u !
Une fonction 1/u est définie lorsqu u est différent de 0 car la division par 0 est une opération qui n'existe pas.
Ici u est une fonction polynôme de degré 2, c'est à dire de la forme ax² + bx + c. Il faut chercher pour quelles valeurs de x elle s'annulle, c'est à dire ses racines. Pour cela, delta ...
1/u sera définie pour tous les nombres réels sauf ceux qui annullent u.

D'accord !

Pour trouver les racines, on fait -b-rac(delta)/2a et -b+rac(delta)/2a

Mais, j'ai un peu de mal à simplifier la racine au maximum quand je tombe sur un nombre qui a pour racine carrée un nombre non entier.

J'ai quand même essayé :

Je trouve delta = 12 Donc
-2-rac(12)/-2

Il y a -2 en haut et en bas donc je peux les enlever, je trouve alors -rac(12) et rac(12) en racines. Est-ce juste ?

Dans ce cas la, comment on note l'ensemble de définition de g ? ]-inf;-rac(12)]U[rac(12);+inf[ ?

Je suis un peu light sur ce type d'écriture, c'est le "union" qui me pose problème.

[titine]

D'accord !

Pour trouver les racines, on fait -b-rac(delta)/2a et -b+rac(delta)/2a

Mais, j'ai un peu de mal à simplifier la racine au maximum quand je tombe sur un nombre qui a pour racine carrée un nombre non entier ?

J'ai quand même essayé :

Je trouve delta = 12 Donc il faudra faire racine carrée de 12 dans le calcul des racines...

-2-rac(12)/-2

Il y a -2 en haut et en bas donc je peux les enlever, je trouve alors -rac(12) et rac(12) en racines. Est-ce juste ?

Non.
On ne peut pas simplifier ainsi.
Lorsque tu as (2 + 5)/2 c'est à dire 7/2 tu ne dis pas que (2 + 5)/2 = 5
De même (-2 + rac(12))/-2 n'est pas égal à rac(12)
Par contre rac(12) = rac(4*3) = rac(4)*rac(3) = 2 rac(3)
Donc (-2 + rac(12))/-2 = (-2 + 2 rac(3))/-2 et en divisant en haut et en bas pas -2 ça donne 1 - rac(3)

Les 2 racines sont donc 1 - rac(3) et 1 + rac(3)
Ce sont les 2 valeurs pour lesquelles le dénominateur de f(x) est égal à 0.
Ce sont donc les 2 valeurs pour lesquelles la fonction f n'est pas définie.
Donc f est définie sur R sauf en 1 - rac(3) et en 1 + rac(3)
Sous forme d'intervalles n peut dire que f est définie sur ]-inf;1-rac(3)[ union ]1-rac(3);1+rac(3)[ union ]1+rac(3);+une[

[Walter White]

Non.
On ne peut pas simplifier ainsi.
Lorsque tu as (2 + 5)/2 c'est à dire 7/2 tu ne dis pas que (2 + 5)/2 = 5
De même (-2 + rac(12))/-2 n'est pas égal à rac(12)
Par contre rac(12) = rac(4*3) = rac(4)*rac(3) = 2 rac(3)
Donc (-2 + rac(12))/-2 = (-2 + 2 rac(3))/-2 et en divisant en haut et en bas pas -2 ça donne 1 - rac(3)

Les 2 racines sont donc 1 - rac(3) et 1 + rac(3)

Pourquoi pas 1-2rac(3) et 1+2rac(3) ?

Vu que -2/-2 = 1 ça on est d'accord, mais rac(12) donne toujours 2rac(3), pourquoi enlever ce 2 ?

Je remarque que graphiquement c'est vous qui avez raison, mais je comprend pas pourquoi par le calcul ce fameux coefficient 2 saute... Parce qu'il y avait -2 en dénominateur et qu'on 2(coef de rac-3) - 2 =0 ?

[titine]

Pour simplifier une fraction on divise le numérateur est le dénominateur par le même nombre.
Exemple : 8/6 = (8:2)/(6:2) = 4/3

Donc pour simplifier (-2 + 2rac(3))/(-2)
On divise le numérateur par -2 : (-2 + 2rac(3)):(-2) = (-2):(-2) + (2rac(3):(-2)) = 1- rac(3)
On divise le dénominateur par -2 : (-2):(-2) = 1

Donc : (-2 + 2rac(3))/(-2) = (1 - rac(3))/1 = 1 - rac(3)

Est ce que je suis clair ?

[Walter White]

Très clair.

J'ai refait les calculs par moi même, j'ai compris ! Même si je m'embrouille parfois avec les signes par inattention...

Pour les variations je pense m'en sortir assez aisément avec le cours.

Pour le nombre dérivé f'(2) cela veut dire que a=2 ?

Donc je dois faire (f(2+h)-f(2))/h ???

[titine]

Très clair.

J'ai refait les calculs par moi même, j'ai compris ! Même si je m'embrouille parfois avec les signes par inattention...

Pour les variations je pense m'en sortir assez aisément avec le cours.

Pour le nombre dérivé f'(2) cela veut dire que a=2 ?

Donc je dois faire (f(2+h)-f(2))/h ???

Oui c'est ça

[Walter White]

D'accord !

J'ai deux petits problèmes :

1) Je reviens vite fait sur la question 1 : Pour le sens de variation de la fonction 1/u. On sait qu'elle varie en sens contraire que la fonction f, avec juste le trinôme.
Alors, est-ce que cette fonction est juste une parabole inversée par rapport à la fonction f, ce fameux trinôme ?
Si c'est pas le cas comment je pourrais définir son sens de variation ?

2) Entre temps j'ai essayé de faire f'(2) mais je reste figé devant ma feuille de brouillon avec : f(2+h)+f(2)/h

Est-ce que je dois utiliser une identité remarquable ? On avait vu un cas comme ça en cours...

J'ai pensé à faire (2+h)² = 4+2*2*h+h², mais ça m'a pas l'air d'être la bonne solution...

[titine]

f est une fonction trinôme.
Je suppose que tu as trouvé qu'elle est croissante sur ]-inf;1] et décroissante sur [1;+inf[. C'est ça ?

Pour les variations de g il faut tenir compte de son ensemble de définition.
g est définie sur ]-inf;1-rac(3)[ union ]1-rac(3);1+rac(3)[ union ]1+rac(3);+inf[ par g(x) = 1/f(x)
Comme la fonction inverse renverse le sens de variation on a :
sur ]-inf;1-rac(3)[ et sur ]1-rac(3);1] f est croissante donc g est décroissante.
sur [1;1+rac(3)[ et sur ]1+rac(3);+inf[ f est décroissante et g est croissante.

Fais tracer la fonction g à la calculatrice. Tu verras qu'elle est "en 3 morceaux".

[titine]

f(x) = -x² + 2x + 2
f(2+h) = -(2+h)² + 2(2+h) + 2 = -(4 + 4h + h²) + 4 + 2h + 2 = -4 - 4h - h² + 4 + 2h + 2 = -h² - 2h + 2
f(2) = -2² + 2*2 + 2 = 2
Donc f(2+h) - f(2) = -h² - 2h
(f(2+h) - f(2))/h = (-h² - 2h)/h = h(-h - 2)/h = -h - 2

Je te laisse reprendre calmement ce calcul ...

[Walter White]

f est une fonction trinôme.
Je suppose que tu as trouvé qu'elle est croissante sur ]-inf;1] et décroissante sur [1;+inf[. C'est ça ?

Oui, c'est bien ça : sommet de coordonnées (1;3).

Pour les variations de g il faut tenir compte de son ensemble de définition. g est définie sur ]-inf;1-rac(3)[ union ]1-rac(3);1+rac(3)[ union ]1+rac(3);+inf[ par g(x) = 1/f(x) Comme la fonction inverse renverse le sens de variation on a : sur ]-inf;1-rac(3)[ et sur ]1-rac(3);1] f est croissante donc g est décroissante. sur [1;1+rac(3)[ et sur ]1+rac(3);+inf[ f est décroissante et g est croissante. Fais tracer la fonction g à la calculatrice. Tu verras qu'elle est "en 3 morceaux".

En fait, j'ai compris que g existait pour tous les nombres sauf pour x=1-rac(3) et 1+rac(3) étant ceux qui rendaient l'équation égale à 0. Mais je bloque avec la notation ]-inf;1-rac(3)[ union ]1-rac(3);1+rac(3)[ union ]1+rac(3);+inf[, je la comprends pas trop, si le la traduis en français "réel" est-ce que ce serait : Tous les nombres compris entre -inf et -rac(3) exclu, ceux compris entre -rac(3) (toujours exclu) et 1+rac(3) (exclu) puis ceux entre 1+rac(3);+inf (toujours avec 1+rac(3) exclu) ce qui fait qu'il nous resteraient que les nombres n'étant pas 1-rac(3) et 1+rac(3) ?

On ne peut pas le noter ]-inf;1-rac3[Union]1+rac(3);+inf[ ?

En effet, je vois bien à la calculatrice qu'elle est en "3 morceaux"

Pour le nombre dérivé j'ai bien compris tout le calcul et le raisonnement, en vérifiant le calcul sur ma TI je tombe sur -2 et non -h-2, normal ? On devra faire cette "technique" à chaque fois qu'on nous demandera de calculer le nombre dérivé : à savoir passer par le polynome de degré 2 etc ?

Autre chose, pourquoi avez-vous remplacé le x de f(x) par (2+h) ? C'est vrai que c'est assez pratique car plus tard quand on fait f(2+h) ça nous permet directement de pouvoir donner une valeur à f(2+h), mais j'ignorais qu'on pouvait faire comme ça...

[titine]

Mais je bloque avec la notation ]-inf;1-rac(3)[ union ]1-rac(3);1+rac(3)[ union ]1+rac(3);+inf[, je la comprends pas trop, si le la traduis en français "réel" est-ce que ce serait : Tous les nombres compris entre -inf et 1-rac(3) exclu, ceux compris entre 1-rac(3) (toujours exclu) et 1+rac(3) (exclu) puis ceux entre 1+rac(3);+inf (toujours avec 1+rac(3) exclu) ce qui fait qu'il nous resteraient que les nombres n'étant pas 1-rac(3) et 1+rac(3) ?

Tout à fait.

On ne peut pas le noter ]-inf;1-rac3[Union]1+rac(3);+inf[ ?

Non car cela voudrait dire qu'elle n'est définie que pour les nombres plus petits que 1-rac(3) et pour les nombres plus grands que 1+rac(3). Or elle est aussi définie pour les nombres compris entre 1-rac(3) et 1+rac(3). Il n'y a que pour les nombres 1-rac(3) et 1+rac(3) qu'elle n'est pas définie.
Quand tu observes la courbe est formée de 3 morceaux.
La fonction est définie sur 3 intervalles : avant la 1ère valeur interdite, entre les 2 valeurs interdites, après la 2ème valeur interdite.

[Walter White]

Ok, d'accord, j'ai saisi !

Je peux passer au nombre dérivé du coup.

[titine]

Pour le nombre dérivé j'ai bien compris tout le calcul et le raisonnement, en vérifiant le calcul sur ma TI je tombe sur -2 et non -h-2, normal ? On devra faire cette "technique" à chaque fois qu'on nous demandera de calculer le nombre dérivé : à savoir passer par le polynome de degré 2 etc ?

Le nombre dérivé de f en 2 est la limite lorsque h tend vers 0 de (f(2+h)-f(2))/h.
Or la limite quand h tend vers 0 de -h-2 est -2.
C'est à dire que si h est très proche de 0 alors -h-2 est très proche de -2.
Donc f'(2) = -2

Par la suite vous verrez des formules vous permettant de calculer les dérivés beaucoup plus simplement ...

[titine]

Autre chose, pourquoi avez-vous remplacé le x de f(x) par (2+h) ? C'est vrai que c'est assez pratique car plus tard quand on fait f(2+h) ça nous permet directement de pouvoir donner une valeur à f(2+h), mais j'ignorais qu'on pouvait faire comme ça...

Quand on écrit f(x) = -x² + 2x + 2 cela signifie que pour calculer l'image de ... par f on fait :
f(...) = -(...)² + 2(...) + 2
f(marcel) = -2(marcel)² + 2*marcel + 2 !
Et donc : f(2+h) = -(2+h)² + 2*(2+h) + 2

[Walter White]

Oui, forcément, je me rends compte de la bêtise de ma remarque...

Pour la question 3 je fais g'(0) à la calculette, ça me donne -0.500001

Je fais l'équation d'une tangente : f'(0)(x-0) + 0.5 (ce 0.5 la c'est le résultat de f(0) )

Ce qui donne -0.5*x+0.5.

PS : Est-ce une coïncidence que le nombre dérivé soit -0.5 et que f(0) fasse aussi 0.5 ?

[titine]

Oui, forcément, je me rends compte de la bêtise de ma remarque...

Pour la question 3 je fais g'(0) à la calculette, ça me donne -0.500001

Je fais l'équation d'une tangente : f'(0)(x-0) + 0.5 (ce 0.5 la c'est le résultat de f(0) )

Ce qui donne 0.5.

PS : Est-ce une coïncidence que le nombre dérivé soit -0.5 et que f(0) fasse aussi 0.5 ?

Oui c'est une coïncidence !

Attention aux confusions entre g et f.
Ici l'équation de la tangente est : y = g'(0)(x-0) + g(0)

[Walter White]

Oui c'est une coïncidence !

Attention aux confusions entre g et f.
Ici l'équation de la tangente est : y = g'(0)(x-0) + g(0)

Oui, je prends note de ces deux différences, merci !

J'ai corrigé dans le message précédent n'ayant pas vu la réponse ah ah !

-0.5*x+0.5 donc.

[Walter White]

Pour l'exercice 3 j'ai calculé AB = rac(10) AC = rac(5-4y+y²) et BC = rac(5-2y+y²)

J'applique le théorème de Pythagore AB²=AC²+BC²

Je trouve 10 = 10-6y+2²

Donc 0=-6y-2y² alors c'est un trinome, je calcule delta puis les deux racines et j'ai marqué que les valeurs pour lesquelles le triangle était rectangle en C étaient les 2 racines (à savoir 0 et 3)

SAUF QUE : ça nous demande les valeurs de y pour lesquelles c'est rectangle en C... Alors je sais pas trop...

Ou est-ce que je me suis trompé ?

Je trace C dans le repère avec les deux valeurs comme demandé, mais ça n'a pas l'air d'être un triangle rectangle, ça ne fait pas d'angles droits... Ou peut-être c'est moi qui rêve et c'est juste ?

[titine]

Pour l'exercice 3 j'ai calculé AB = rac(10) AC = rac(5-4y+y²) et BC = rac(5-2y+y²)

J'applique le théorème de Pythagore AB²=AC²+BC²

Je trouve 10 = 10-6y+2²

Donc 0=-6y-2y² alors c'est un trinome, je calcule delta puis les deux racines et j'ai marqué que les valeurs pour lesquelles le triangle était rectangle en C étaient les 2 racines (à savoir 0 et 3)

SAUF QUE : ça nous demande les valeurs de y pour lesquelles c'est rectangle en C... Alors je sais pas trop...

Ou est-ce que je me suis trompé ?

Je trace C dans le repère avec les deux valeurs comme demandé, mais ça n'a pas l'air d'être un triangle rectangle, ça ne fait pas d'angles droits... Ou peut-être c'est moi qui rêve et c'est juste ?

Si, si, c'est très bien !
y = 0 ou 3
Si tu places le point C de coordonnées (2;0) le triangle ABC est bien rectangle en C.
De même si tu places le point C de coordonnées (2;3).

Cependant une remarque :
Pour résoudre -2y² + 6y = 0 tu as utilisé delta ... Mais c'est beaucoup plus simple en mettant y en facteur !
y(-2y + 6) = 0
y=0 ou -2y + 6 = 0
y=0 ou y=3

[Walter White]

[/quote]y(-2y + 6) = 0
y=0 ou -2y + 6 = 0
y=0 ou y=3[quote]

J'avoue ne pas du tout comprendre cette opération...