1ere S : DM les fonctions

[Walter White]

Bonjour,

J'ai une fiche d'exercices à faire pour les vacances, je bloque sur l'exercice 1, je vous file une photo de ladite fiche !

http://www.noelshack.com/2013-44-1383060282-dm-maths-rentree-04-11-13.jpg

Alors, pour la question 1 de l'ex 1 je trouve l'intervalle [-1;1] comme ensemble de définition. (D'ailleurs, c'est pas grave si il y a des nombres négatifs alors que la fonction racine carrée est définie sur 0,+infini ?

J'en viens à la question 2 : Comment déterminer les variations de u et f ? Je ne sais pas du tout comment arriver à faire ça. En commençant par la fonction u (déjà, est-ce que c'est bien une fonction carré ?) Est-ce qu'il faut calculer le discriminant et les racines ? Est-elle strictement croissante ? Croissante puis décroissante ?

Je me suis dit que peut-être il fallait découper en deux l'intervalle : [-1;0] puis [0;1] Mais la encore, reste à savoir si c'est croissant ou décroissant et quand. Ca a l'air d'être une fonction carré, la fonction u, mais le 1 me gène dans 1-x².

Certaines personnes m'ont dit qu'il fallait "dériver" u et f.

En cours j'ai seulement vu comment calculer le taux d’accroissement : f(a+h)-f(a)/h.

De la on trouvait selon la valeur de a qu'on nous donnait un nombre dérivé, on est pas allé plus loin. Est-ce que c'est cette méthode la qu'il faut appliquer pour trouver les variations de u et f ?

Quand je suis face à un énoncé comme ça j'ai 1000 questions qui me viennent en tête auxquelles je ne sais répondre, et surtout, j'ai jamais de méthode fixée pour y répondre, comme si il n'y avait pas une solution à appliquer pour résoudre ça mais un tas d'informations que je sais pas utiliser dans le bon ordre...

Pour la question 3, "montrez que OM =1" même problème, je ne sais pas quelle méthode appliquer, comment m'y prendre. Surtout que dans OM, qu'est-ce que O ? On sait que M est un point, mais O je ne sais pas...

Pour la 4, j'imagine que c'est une courbe croissante vu qu'il s'agit d'une fonction racine carrée... La encore je sais pas trop.

Merci d'avance.

[Walter White]

Ah, autre chose, petit oubli de ma part (désolé!)

Certaines personnes m'ont dit qu'il fallait "dériver" u et f.

En cours j'ai seulement vu comment calculer le taux d’accroissement : f(a+h)-f(a)/h.

De la on trouvait selon la valeur de a qu'on nous donnait un nombre dérivé, on est pas allé plus loin. Est-ce que c'est cette méthode la qu'il faut appliquer pour trouver les variations de u et f ?

[keofran]

Dans ton cours, il doit y avoir les études de fonctions usuelles :
- fonction affine
- fonction carré
- fonction inverse
- fonction racine
- fonction polynôme du second degré

Et il doit y avoir des propriétés sur les variations de composées de fonctions.

Quand tu as 1000 questions, ne cherche pas compliquer, lis bien ce qu'on te demande. On te parle de variation et il s'agit d'une fonction composée d'une fonction polynôme du 2nd degré et de la fonction racine.

Cet ensemble de mots devraient t'orienter vers certaines parties précises du cours.

[titine]

Exo 1.
u(x) = 1 - x²
Sur [0 ; +inf[ tu sais que la fonction carrée est croissante
Donc si a et b sont 2 nombres de [0 ; +inf[ tels que a < b alors
a² < b²
et -a² > -b² (multiplication d'une inégalité par un nombre négatif)
et donc -a² + 1 > -b² + 1
c'est à dire u(a) > u(b)
Donc u est ................................. sur [0 ; +inf[
Même raisonnement sur ]-inf ; 0]

f(x) = rac(u(x))
Tu as dû trouver que f est définie sur [-1 ; 1]
On a vu que sur [0 ; 1] si a < b alors u(a) > u(b)
donc rac(u(a)) ..... rac(u(b)) car ...................
donc f est .................... sur [0 ; 1]
Et sur [-1 ; 0] .....

Si tu comprends cela on passera à la suite ....

[Walter White]

et donc -a² + 1 > -b² + 1
c'est à dire u(a) > u(b)

Pourquoi -a² + 1 = u(a) et -b² + 1 = u(b) ? Vu que le 1 précédemment était soustrait, pourquoi ça n'est pas 1-a² et 1-b² ?

Je dirais que u est décroissante sur [0 ; +inf[ si u(a)>u(b)

[...]donc rac(u(a)) > rac(u(b)) car u(a)>u(b)
donc f est décroissante sur [0 ; 1]
Et sur [-1 ; 0] .....

Je sais pas si j'ai bien tout saisi, je sens que j'ai déjà compris quelques éléments !

[titine]

Pourquoi -a² + 1 = u(a) et -b² + 1 = u(b) ? Vu que le 1 précédemment était soustrait, pourquoi ça n'est pas 1-a² et 1-b² ?

Je dirais que u est décroissante sur [0 ; +inf[ si u(a)>u(b)

[...]donc rac(u(a)) > rac(u(b)) car u(a)>u(b)
donc f est décroissante sur [0 ; 1]
Et sur [-1 ; 0] .....


Je sais pas si j'ai bien tout saisi, je sens que j'ai déjà compris quelques éléments !

-a² + 1 = 1 - a² !

rac(u(a)) > rac(u(b)) car u(a)>u(b) et la fonction racine carrée est croissante

[Walter White]

J'ai tapé ma fonction à la calculatrice ça me donne une parabole inversée (tête en haut).

J'ai bien compris le point qui explique que : rac(u(a)) > rac(u(b)) car u(a)>u(b) !

Pour la fonction f on raisonne de manière similaire ? Suffit-il de dire que la fonction carré et racine carrée suivent la même variation ?

et la fonction racine carrée est croissante

Quand je tape ma fonction à la calculatrice ça m'affiche une parabole croissante puis décroissante, c'est une erreur ?

[titine]

Reprenons :
Tu as compris que f est croissante sur ]-inf ; 0] et décroissante sur [0 ; +inf[ ?

Pour u :
Cette fonction est définie sur [-1 ; 1]
Sur [-1 ; 0] : comme f est croissante sur cet intervalle : si a < b alors f(a) < f(b) et comme on sait que la fonction racine carrée est croissante sur son ensemble de définition (la fonction racine carrée est la fonction qui à X associe rac(X)) alors rac(f(a)) < rac(f(b))
En conclusion : sur [-1 ; 0] si a < b alors u(a) < u(b) donc u est croissante.
Par un raisonnement analogue u est décroissante sur [0 ; + inf]

Est ce clair ?

As tu bien compris ce qu'est une fonction croissante ?

[titine]

Pour la suite :
M(x ; y) appartient à la courbe de f donc y = f(x) = rac(1-x²)
O est l'origine du repère. Ses coordonnées sont (0 ; 0)
Pour calculer OM on fait rac((x-0)² + (y-0)²) D'accord ?
Donc OM = rac(x² + y²)
Mais y = rac(1-x²) donc y² = 1-x²
Donc OM = rac(x² + 1 - x²) = 1

L'ensemble des points M vérifiant OM = 1 est le cercle de centre O et de rayon 1.
Mais ici comme y est forcément positif on obtient que le demi cercle supérieur.
Conclusion : la courbe de f est le demi cercle supérieur de centre O et de rayon 1. Cela correspond il à ce que tu obtiens à la calculatrice ?

[Walter White]

As tu bien compris ce qu'est une fonction croissante ?

Plus on avance sur l'axe des abscisses et plus on monte dans les ordonnées, c'est ça une fonction croissante ?

Je vais relire avec attention votre réponse mais je crois avoir compris ! En fait, j'avais déjà lu et compris ça dans le cours mais j'avais beaucoup de mal à le réutiliser en application. Merci beaucoup !

Je lis la suite de l'exercice avec attention!

Edit : Par contre, lorsque je tape ma fonction racine carrée à la calculatrice, (la fonction f donc) elle est pas croissante sur ]-inf;0], ça ne m'affiche rien jusqu'à x=-1 et y= 0 puis ça fait un genre de "pont" jusqu'à x= 1 et y=0 , ensuite plus rien. ça correspond en effet au demi cercle de la question 3, s'agissant de la courbe représentative de la fonction f. Mais je me pose une question, comment on peut dire que la fonction f est croissante sur ]-inf;0] si elle est illustrée par le fameux demi cercle, ("y" ne pouvant être que positif) ? Alors il existe pas de ]-inf;0] sur cette fonction ?

D'ailleurs, "y" ne peut être que positif parce qu'une racine carrée ne peut pas être négative, c'est bien ça ?

Dans l'exercice 3

Pour calculer OM on fait rac((x-0)² + (y-0)²) D'accord ?

Je ne savais pas qu'on faisait comme ça...

[titine]

Rappel de Seconde :
Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) alors la distance AB = rac((xB - xA)² + (yB - yA)²)

Tu confonds :
La fonction racine carrée qui à X associe rac(X)
La fonction f qui à x associe rac(u(x)) c'est à dire rac(1-x²)

[Walter White]

Tu confonds :
La fonction racine carrée qui à X associe rac(X)
La fonction f qui à x associe rac(u(x)) c'est à dire rac(1-x²)

Ah, d'accord, j'étais persuadé de bien différencier ces deux fonctions... Alors je ne comprend toujours pas pourquoi seul le demi-cercle apparait lorsque je tape la fonction f : rac(1-x²) sur ma calculatrice. En quoi est-elle alors croissante sur ]-inf ; 0] et décroissante sur [0 ; +inf[ ? Le seul point sur lequel je bloque, en fait, c'est que sur la représentation graphique je ne vois pas apparaitre les 2 branches de la courbe allant chacune vers l'infini.

[keofran]

Une fonction ne peut être croissante ou décroissante que sur un intervalle sur lequel elle est définie.

f est ici définie sur [-1;1], tu l'as dit toi-même dans ton premier message. C'est donc normal que la représentation graphique ne dépasse pas cet intervalle.

[Walter White]

Une fonction ne peut être croissante ou décroissante que sur un intervalle sur lequel elle est définie.

f est ici définie sur [-1;1], tu l'as dit toi-même dans ton premier message. C'est donc normal que la représentation graphique ne dépasse pas cet intervalle.

Et même si la fonction f n'est définie QUE sur cet intervalle elle peut-être croissante sur ]-inf;0] et décroissante sur [0;-inf[ ?

[Walter White]

Pour l'exercice 2, l'ensemble de définition de g peut-être trouvé en calculant le discriminant et les racines ?

Si oui, l'intervalle sera tout ce qui se trouve entre les racines ?

Les variations de f et g normalement évoluent en sens inverse , non ?

[titine]

Et même si la fonction f n'est définie QUE sur cet intervalle elle peut-être croissante sur ]-inf;0] et décroissante sur [0;-inf[ ?

Excuse moi dans le message :

Reprenons :
Tu as compris que f est croissante sur ]-inf ; 0] et décroissante sur [0 ; +inf[ ?

Pour u :
Cette fonction est définie sur [-1 ; 1]
Sur [-1 ; 0] : comme f est croissante sur cet intervalle : si a < b alors f(a) < f(b) et comme on sait que la fonction racine carrée est croissante sur son ensemble de définition (la fonction racine carrée est la fonction qui à X associe rac(X)) alors rac(f(a)) < rac(f(b))
En conclusion : sur [-1 ; 0] si a < b alors u(a) < u(b) donc u est croissante.
Par un raisonnement analogue u est décroissante sur [0 ; + inf]

J'ai interverti les fonctions u et f !

[Walter White]

D'accord, donc quand vous dites :

Cette fonction est définie sur [-1 ; 1]
Sur [-1 ; 0] : comme f est croissante sur cet intervalle : si a < b alors f(a) < f(b) et comme on sait que la fonction racine carrée est croissante sur son ensemble de définition (la fonction racine carrée est la fonction qui à X associe rac(X)) alors rac(f(a)) < rac(f(b))
En conclusion : sur [-1 ; 0] si a < b alors u(a) < u(b) donc u est croissante.
Par un raisonnement analogue u est décroissante sur [0 ; + inf]

Il s'agit de la fonction f ?

[titine]

Je reprends :

u(x) = 1 - x²
Sur [0 ; +inf[ tu sais que la fonction carrée est croissante
Donc si a et b sont 2 nombres de [0 ; +inf[ tels que a -b² (multiplication d'une inégalité par un nombre négatif)
et donc -a² + 1 > -b² + 1
c'est à dire u(a) > u(b)
Donc u est ................................. sur [0 ; +inf[
Même raisonnement sur ]-inf ; 0]

On montre ainsi que la fonction u est croissante sur ]-inf ; 0] et décroissante sur [0 ; +inf[

Ensuite :
La fonction f est définie sur [-1 ; 1] par f(x) = rac(u(x))
Sur [-1 ; 0] : comme u est croissante sur cet intervalle (voir ci dessus) : si a F(b)
Une fonction décroissante inverse l'ordre.
Exemple : la fonction carrée sur ]-inf ; 0] car si a et b appartiennent à ]-inf ; 0] et si a b²[/I]

[Walter White]

C'est vraiment super, j'ai compris l'exercice 1 dans son intégralité !

Par contre, pour le deux, ça se corse un petit peu :

Comment on trouve l'ensemble de définition d'une fonction 1/quelquechose. (Déjà, s'agit-il d'une fonction 1/u ? Ca en a l'air)

Pour les variations je pense me débrouiller...

[titine]

C'est bien une fonction de la forme 1/u !
Une fonction 1/u est définie lorsqu u est différent de 0 car la division par 0 est une opération qui n'existe pas.
Ici u est une fonction polynôme de degré 2, c'est à dire de la forme ax² + bx + c. Il faut chercher pour quelles valeurs de x elle s'annulle, c'est à dire ses racines. Pour cela, delta ...
1/u sera définie pour tous les nombres réels sauf ceux qui annullent u.