Aide injection et surjection

par **maxos** » 13 Oct 2013, 09:23

Bonjour,
j'ai vraiment du mal à comprendre ma leçon sur les ensembles, donc première question est-ce que vous connaissez un cours sur internet qui est bien expliqué ?
Ensuite j'ai un exercice à faire:
Soit f: R² ----> R²
f(a,b)=(a+b,ab)
Est-elle injective ou surjective ?

Déjà ce qui me gène c'est qu'on ait un couple (a,b)

ensuite, d'après le cours, f est dite injective ssi tout élément y de R est l'image d'au plus un élément x de R.
Et elle est surjective ssi tout élément y de R est l'image d'au moins un élément x de R.

Si vous pouviez m'aider, je vous remercie.

par **Sourire_banane** » 13 Oct 2013, 09:44

maxos a écrit:Bonjour,
j'ai vraiment du mal à comprendre ma leçon sur les ensembles, donc première question est-ce que vous connaissez un cours sur internet qui est bien expliqué ?
Ensuite j'ai un exercice à faire:
Soit f: R² ----> R²
f(a,b)=(a+b,ab)
Est-elle injective ou surjective ?

Déjà ce qui me gène c'est qu'on ait un couple (a,b)

ensuite, d'après le cours, f est dite injective ssi tout élément y de R est l'image d'au plus un élément x de R.
Et elle est surjective ssi tout élément y de R est l'image d'au moins un élément x de R.

Si vous pouviez m'aider, je vous remercie.

Salut,

Les définitions du cours ne sont pas exploitables de manière directe.
Il faut savoir les retransformer à un usage démonstratif : Une application f est injective ssi pour tout couple (a,b) dans l'ensemble de départ, a différent de b implique f(a) différent de f(b). Comme il est plus aisé de travailler avec la contraposée, il suffit donc de montrer que quels que soient deux éléments a,b de l'ensemble de départ, si f(a)=f(b) alors a=b.
L'application est surjective ssi pour tout élément (on en prend donc un dans l'étude) de l'ensemble d'arrivée, on peut trouver un élément x de l'ensemble de départ tel que y=f(x).

par **beagle** » 13 Oct 2013, 09:45

Quand tu es limité, comme moi, ben tu prends des exemples,
que se passe-t-il avec des exemples,
alors souvent les exemples simples sont avec 0 ou 1 qui limitent les calculs,

prenons 0
lorsque a+b = 0
c'est qu'on avait a=-b, donc on a en deuxième élément: ax(-a) = -a^2

donc est-ce que dans l'ensemble d'arrivée tu peux atteindre les éléments (0,y) avec y positif?
Ils ont quel antécédent?

par **SaintAmand** » 13 Oct 2013, 09:45

maxos a écrit:Bonjour,
j'ai vraiment du mal à comprendre ma leçon sur les ensembles, donc première question est-ce que vous connaissez un cours sur internet qui est bien expliqué ?

Allergique au papier ? Je suppose que tu as accès à une bibliothèque universitaire ? Si tu es sérieux, le Cours de mathématiques d'Arnaudiès et Fraysse chez Dunod est excellent.

Et si tu expliquais ce que tu ne comprends pas dans ton cours ?

Ensuite j'ai un exercice à faire:
Soit f: R² ----> R²
f(a,b)=(a+b,ab)
Est-elle injective ou surjective ?

Déjà ce qui me gène c'est qu'on ait un couple (a,b)

Et pourquoi donc ?

Est-ce que f(a,b)=f(a',b') implique que (a,b)=(a',b') ?
Est-ce que pour tout couple de réels (c,d), il existe un couple (a,b) tel que f(a,b)=(c,d), c'est-à-dire tel que a+b = c et ab=d ?

par **chan79** » 13 Oct 2013, 09:49

salut
juste une idée
calcule f(1,2) et f(2,1)

par **Archibald** » 13 Oct 2013, 10:03

Bonjour,

dommage que f reste dans

, on ne peut pas utiliser les propriétés des dimensions. De même, dommage que f ne soit pas une application linéaire..

Il va donc falloir que tu utilises la définition formelle d'une injection et d'une surjection. (traduis mathématiquement la dernière partie du poste de SaintAmand).

n.b : pour le cours et des exercices corrigés, voir par ici : http://exo7.emath.fr/un.html

par **maxos** » 13 Oct 2013, 10:05

Merci pour toute vos réponses ! :)
Alors non je n'ai pas de BU dans le coin, je suis dans une très petite prépa de proximité :/

Si j'ai bien compris, pour montrer qu'elle est injective il faudrait que je montre que a=a+b et b=ab ?

ok j'essaie pour (a,b)=(1,2) : f(1,2)=(3,2) ?
f(2,1)= (3,2)

par **Archibald** » 13 Oct 2013, 10:22

Et qu'est-ce que tu en conclues ?

tu peux avoir les contre-exemples les plus flagrants qui puissent exister, si tu ne peux pas utiliser les propriétés du cours pour conclure, tu restes au même point.

par **beagle** » 13 Oct 2013, 10:32

en premier est wiki (regarde les dessins) :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Bijection
ensuite tu reprendras les belles défintions verbeuses qui doivent ètre dans ton cours,
et qui te serviront à écrire proprement dans un langage maths.

Mais injection-surjection est typique de l'enseignement français?
Les fondations de l'abstraction sont physiques, et le physique n'est pas noble,
on le chasse de l'enseignement en primaire on veut donner du sens sémantique avec de la belle parlotte, et plus tard en prépa,ben on dit ces gars là ont des capacités d'abstraction, on va pas leur mettre une aide physique,...
C'est une constante du forum supérieur cette incapacité à voir ce qui est recherché dans injection-surjection, comme est une constante du forum primaire l'absence de support physique sur les parties forment le tout...

par **maxos** » 13 Oct 2013, 10:38

on peut en conclure qu'elle n'est pas injective, mais surjective.

par **maxos** » 13 Oct 2013, 10:39

cette après midi je regarderai wiki, et mon cours plus en détail pour prouver cela dans un langage mathématiques

par **beagle** » 13 Oct 2013, 10:45

maxos a écrit:on peut en conclure qu'elle n'est pas injective, mais surjective.

sur le seul exemple de (a,b) arrive au mème endroit que (b,a)
effectivement tu mets à mal l'injection

perso je t'ai donné un autre exemple qui lui devrait t'aider pour la surjection ,
car pour le moment tu vois arriver deux flèches sur un mème élément,
mais est-ce que tous les éléments de l'ensemble d'arrivée vont pouvoir ètre atteints = ont-ils tous un antécédent?
si de l'ensemble d'arrivée on a 0 comme premier élémént (0,...), peux-tu construire tout R pour les ...

par **chan79** » 13 Oct 2013, 12:48

tu dois savoir comment calculer deux nombres connaissant leur somme et leur produit.
Cela se ramène à la résolution d'une équation.
Il faudrait qu'elle n'ait pas de solution pour trouver un contre-exemple pour la surjectivité.

par **maxos** » 13 Oct 2013, 14:34

Si la fonction est surjective on obtient le sysyème d'équation suivant:

x+y=X
xy=Y

c'est bien ça ?

par **chan79** » 13 Oct 2013, 19:20

maxos a écrit:Si la fonction est surjective on obtient le sysyème d'équation suivant:

x+y=X
xy=Y

c'est bien ça ?

essaie de trouver un antécédent de (1,1)

par **maxos** » 14 Oct 2013, 14:57

J'ai du mal ...
je trouve pas d'antécédent réelle de (1,1)

par **beagle** » 14 Oct 2013, 15:10

maxos a écrit:J'ai du mal ...
je trouve pas d'antécédent réelle de (1,1)

oui mais chan79 l'a fait exprès!
Il voulait que tu ne trouves pas.
Bon, j'étais aussi méchant que chan, je t'avais demandé de trouver les antécédents de (0, +2)
de (0,+racine de 3) , les (zéros, y positifs quoi).

Maintenant si tu n'en trouves pas, c'est peut-ètre qu'il n' y en a pas.
Souvent ma femme me dit "mais t'as pas cherché" ...
Mais là, toi, si tu as cherché voire mieux démontré qu'il n' y en avait pas,
alors tu auras démontré que:
-surjection
-pas surjection

par **maxos** » 14 Oct 2013, 15:38

pour montrer que f n'est pas surjective, un contre exemple suffit ?

par **beagle** » 14 Oct 2013, 15:45

maxos a écrit:pour montrer que f n'est pas surjective, un contre exemple suffit ?

oui, si un élément de l'ensemble d'arrivée n' a pas d'antécédent, cela suffit, ce n'est pas surjection.

par **maxos** » 14 Oct 2013, 15:58

ok merci, et pour voir si elle est injective
je prend (a,b) et (a',b') de R², tel que f(a,b)=f(a',b')
soit (a+b,ab)=(a'+b',a'b')
mais je fais quoi après ?

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