Injection surjection bijection

[haydenstrauss]

Quelqu'un peut me dire si j'ai bien compris ?



surjection :

Prennons deux ensemble E et F et une fonction f.
Si tout les elements de F sont des images d'au moin un element de E par la fonction f.
C'est a dire qqsoit y appartenent a T il existe au moin un x appartenant a E
Je crois comprendre mais jai pas d'exemple.. On pourrai m'en donner .



Injection :

Prennons deux x different x1 et x2 alors f(x1) est different ed f(x2).
par exemple les fonction ax^2+bx+c ne sont pas injective par contre les fonction affine le sont ansi que l'expo et ln
C'est ça ?


bijection :

C'est quand une fonction est a la fois injective et surjective ( c'est ce que j'ai lu ...)
je comprend pas trop enfin si je comprenner surjection je comprendrai peut etre bijection...

Si on peux m'aider.

merci par avance

[Nightmare]

Bonjour

Surjection :
une application f : E->F est surjective si tout élément de F a au moins un antécédent par f dans E
C'est à dire que pour tout élément y de F, il existe un x tel que y=f(x)

Par construction, l'application f : E->f(E) est surjective quelque soit f.
Exemple :
L'application f : R->R+ qui à x associe x² est surjective.

Injection :

Une application f : E->F est injective si tout élément de F admet au plus un antécédent par f dans E.
Autrement dit, s'il existe deux éléments a et b tels que f(a)=f(b) alors a=b
Exemple :
L'application f : R->R qui à x associe exp(x) est injective.

Bijection :

Une application f : E->F est bijective si elle est injective et surjective, c'est à dire si tout élément de F admet un UNIQUE antécédent par f dans E

Exemple :
L'application f : R->R+ qui à x associe exp(x) est bijective.

Tu peux voir que préciser l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée d'une fonction est essentiel.

:happy3:

[El_Gato]

Exemple :
L'application f : R->R+ qui à x associe exp(x) est bijective.

[Nightmare]

Oui j'ai oublié l'étoile, merci El gato :happy3:

[Chimomo]

Comme Nightmare le fait remqrquer, une application peut toujours être rendu surjective en restreignant l'ensemble d'arrivée.

On peut de même rendre une application injective en restreignant lensemble de départ mais on ne le fait jamais parceque ce n'est pas forcément facile (et ça peut avoir des conséquences topologiques assez graves sur l'ensemble de départ).

[El_Gato]

On peut de même rendre une application injective en restreignant lensemble de départ mais on ne le fait jamais parceque ce n'est pas forcément facile (et ça peut avoir des conséquences topologiques assez graves sur l'ensemble de départ).

On rend une application injective non pas en restreignant l'ensemble de départ, mais en faisant en sorte que les x et y tels que f(x) = f(y) correspondent à un même point. Autrement dit, on quotiente l'ensemble de départ par la relation d'équivalence f(x) = f(y).

Et en fait on le fait toujours, notamment en topologie, pour construire élégamment de nouveaux espaces à partir d'espaces connus.

Exemple: prendre l'application antipodie où est la sphère unité dans l'espace à trois dimensions.

L'ensemble de départ "quotienté" par cette application est la sphère dans la quelle chaque point est collé à son antipode. Le résultat est la surface dite de Boy.

[nekros]

Salut,

En plus concis :

f est surjective si et seulement si , tel que

f est injective si et seulement si ,

Thomas G :zen:

PS : je répondais au tout premier post

[Chimomo]

C'est vrai que j'aurais du préciser que je me placais dans un cadre extrémemet sommaire, je voulais n'utiliser que les ensembles et les applications (et ne pas me lancer dans des structures quotients) parceque haydenstrauss semble débuter dans la théorie des ensembles. Mais comme je le disais on ne retire jamais des points dans la pratique et El Gato a donné une façon bien meilleure de rendre des applications injectives.

[Yipee]

L'ensemble de départ "quotienté" par cette application est la sphère dans la quelle chaque point est collé à son antipode. Le résultat est la surface dite de Boy.

C'est surtout le plan projectif.

[quinto]

Ils sont conformes non?

[El_Gato]

C'est surtout le plan projectif.

Oui exact et en plus l'antipodie est injective. J'aurais dû prendre plutôt E = le carré unité et l'identification des bords opposés --> ruban de Möbius.

[nekros]

Bonsoir,

J'ai suivi le topic et j'aimerai savoir à quel niveau il se situe (surtout à partir des ensembles quotientés)

Merci

Thomas G :zen:

[haydenstrauss]

ok merci

effectivement je commence en ensemble je connais a peu pres rien et je suis entrain de regarder livre pour ma curiosité.
Je connais rien en topologie enfin peut eter que si mais je ne sais pas c'est quoi.
je ne sais pas quotienté .. enfin je ne sais pas ce que ça ve dire.



Pour la surjection :

les fonction du type racine de u(x) avec u(x) pouvant etre négatif et par exemple u(x) / (a-x) ne sont pas surjective car pour la racine il y a des x qui n'ont pas d'image tel que racine de x pour x= a avec a>0 n'a pas dimage donc cetet fonction n'est pas surjective.
Et pour u(x) / (a-x) elel ne l'est pas non plus car avec x=a il n'y a pas d'image.
C'est la emem chose pour ln(x) : pour x=a et a>0 il n'y pas a d'image donc ln n'est pas injective et donc non bijective aussi.

En gros une fonction est surjective si qd on est la trace on ne doit pas lever la main ou il n'y a pas de trou ou encore il n'y pas a de valeur interdite.

injection :

si j'ai bien compris c'est qd chaque image a un et un seul antécedent par exemple les fonction affine.
les fonction cos et sin ne sont pas injective car y=1 a plus de 1 antécendent ( qui plus est a l'infinie d'antécédent)
les fonction du second degres ne sont pas injective aussi car certaine image ou deux antécedent?



Est ce que j'ai bien compris ?



PS : le truc de la sphere j'airien capter...

[nekros]

Salut,

Tu peux prendre un exemple simple :

La relation définit une surjection de dans , une injection de sur , une bijection de sur lui-même.

Thomas G :zen:

[Chimomo]

Ta définition de la surjectivité est fausse (je parle des histoires de dessins) parceque tout vient de l'ensemble d'arrivée que tu choisit.

Je prends un exemple :

Si tu définit elle n'est pas surjective, mais si tu définit elle est surjective. Le dessin est le même pourtant.

[haydenstrauss]

hum je crois que j'ai compris ._

Pour qu'une fonction soit surjective il faut que il existe un antécedent de .

Par exemple:
Soit la fonction
f n'est pas surjective si je définit car pour il n'existe pas de tel que

Par contre si je définit alors la oui elle est surjective car il existe un antécedent de .

C'est ça ?

[Nightmare]

"Si je définiS" :lol3:

Sinon pour ta première affirmation c'est faux :

f : R --> R n'est pas surjective car pour y=-3, il n'existe pas de x (et non de f(x)) tel que y=f(x).

[Nightmare]

La seconde est en effet vraie vu que

:happy3:

[haydenstrauss]

oui de est pas de dsl erreur ...

Difficile de manipuler latex quand on connait rien j'écris super lentement lol


merci

[El_Gato]

J'ai suivi le topic et j'aimerai savoir à quel niveau il se situe (surtout à partir des ensembles quotientés)

Je dirais niveau Licence où l'on est obligé de regarder d'un plus près ces histoires d'ensemble quotient pour préparer le terrain. C'est utilisé un peu partout, et pas seulement en topo.