Je parlais donc de (X inter A) U B = (Y inter A) U B
Ce qui est équivalent à (X U B) inter (A U B) = (Y U B) inter (A U B)
(X U B) inter E = (Y U B) inter E car (A U B) = E
X U B = Y U B
là y'a rien à redire, on a effectivement
(X U B) = (X inter A) U B = (Y inter A) U B = (Y U B)
Par contre je vois pas trop comment on peut en déduire qux X=Y.
Il faut montrer "si A union B = E, si X inter A = Y inter A et si X inter B = Y inter B, alors X = Y",
Il faut utiliser toutes les hypothèses
Si tu supposes seulement X inter A = Y inter A et que tu montres que X = Y sans utiliser X inter B = Y inter B, c'est que tu as montré "si A union B = E et si X inter A = Y inter A, alors X = Y", ce qui est faux, donc tu t'es forcément gourré quelquepart.
Je te conseille de partir de X = X inter E = X inter (A union B) (et pareil avec Y)
D'accord.
Soit X = {x} inter A et Y={x} inter B
(X) = (({x} inter A) inter A), ({x} inter A} inter B)) = ( {vide}, {vide}) (car {x} inter A = vide)
(Y) = (({x} inter B) inter A), ({x} inter B} inter B)) = ( {vide}, {vide}) (car {x} inter B = vide)
(X) =
(Y) or X est différent de Y donc
n'est pas injective.
C'est bon ?
La question juste avant t'as fait montrer que lorsqu'on prend x dans E privé de (A union B),
({x}) = (vide,vide).
Là tu as construit X et Y, puis tu as essentiellement dit que
(X) = (vide,vide) =
(Y)
Seulement vu que X = Y = l'ensemble vide, ça ne montre pas que ce n'est pas injectif.
Mais bon, en regardant la question précédente, quel ensemble X non vide vérifie aussi
(X) = (vide,vide) ?
D'après l'exemple numérique que j'ai pris, un (C,D) avec C différent de D et C=vide ou D=vide n'a pas d'antécédent par
.
Pour tout X,
(X) = (X inter A, X inter B)
Là par contre je bloque...
euh quel exemple numérique ?
Tu es en train de dire que si on prend (C,D) avec l'un des deux vide et l'autre non vide, il n'a pas d'antécédent par
?
C'est vrai sur l'exemple E=A=B={0} mais c'est pas forcément vrai en général que ça va donner un truc sans antécédent.
Une fois fois que t'as fait ce choix tu dois montrer que
(X) ne peut jamais être égal à (C,D).
Si par exemple C=vide et D est dans P(B) non vide, ça revient à montrer qu'on ne peut pas avoir X inter A = vide et X inter B = D.
Or, lorsque D inter A = vide, il suffit de prendre X = D :
(D) = (D inter A, D inter B) = (vide,D)
Donc ta méthode pour construire un truc sans antécédent ne fonctionne pas encore parfaitement
Euh là je ne comprends pas, dans la définition de l'application on parle bien de la fonction qui à un ensemble X appartenant à P(E) associe un couple d'ensemble de P(A) x P(B). Pourquoi la bijection réciproque ne peut-elle pas associer des ensembles ?
Quand on définit une fonction on décrit une méthode pour construire un élément de l'ensemble d'arivée avec un élément de l'ensemble de départ.
Vu que c'est plus facile quand on donne des noms aux objets, on se donne donc un nom pour nommer l'élément de l'ensemble de départ, et on doit donc dire comment fabriquer l'élément de l'ensemble d'arrivée. Par exemple, "soit f(x) = x+1", ça veut dire "appelons f la fonction qui à un nombre réel, qu'on appellera x, associe le nombre réel x+1".
Par contre si je dis f(x²) = x+1, là ça ne veut rien dire. que vaut f(1) ? que vaut f(-1) ?
"appelons f la fonction qui à un nombre réel, qu'on appellera x², associe le nombre réel x+1", ça marche pas.
Ben là t'as fait pareil. Dire "Soit
-1(X inter A, X inter B) = X" ça ne veut rien dire.
Il faut dire "soit
-1 la fonction qui à un élément de P(A) x P(B), qu'on appellera x, associe ....".
Comme x est un couple, il est de la forme (C,D) avec C dans P(A) et D dans P(B), et tu as le droit dans ta construction d'utiliser C et D.
