Bijection - injection - Surjection

[emmanuel 68]

Bonjour,

Je me présente, je m'appelle Emmanuel, et j'aurais besoin de votre aide pour comprendre les notions de Bijection - Injection - Surjection.

D'après mes recherches sur internet, une bijection serait une fonction où chaque antécedent possède une image.

Une injection serait une fonction où chaque antécedent possède une image sans que forcément toute les "y" aient des antécédents.

Enfin une surjection serait une fonction où chaque antécedent possède au moins une image, chaque image a au moins un antécedent.

Mais alors, est-ce que la fonction f(x)=x^3 est une surjection?

Avez-vous des exemples de fonctions qui seraient des injections, bijections, surjections?

Mais si ce que j'ai compris de ces trois notions est juste, cela voudrait donc dire que :
si une surjection a, pour chaque antécedent, une seule image (et dans ce cas là, le "au moins une image" devient "une image"), la surjection devient automatiquement une bijection?

Mais alors, peut-on faire les raccourcis suivant:

Si une fonction est monotone sur R et a pour limite en -infini un reel et une limite en +infini un infini, elle serait donc une injection ?

De même, si une fonction non monotone sur R a des limites infinis, est-elle automatique une surjection?

Enfin, si une fonction monotone à des limites infinies aux bornes de son DF est-elle automatiquement un bijection?

Mais, lorsque l'on résoud une équation avec ln, on pose:

ln(5x+3) = ln(x²+2) (exemple pris au hasard)

on dit: comme ln est une bijection de x sur R alors:

5x + 3 = x² + 2

Mais pourquoi le fait que Ln soit une bijection nous permet-il de simplifier notre expression de cette manière?

Voilà, j'espère avoir été assez clair.

Dans tous les cas, je vous remercie par avance pour votre réponses!

[Nightmare]

Salut !

Par exemple la fonction x->ln(x) est bijective sur R (tout réel y admet un antécédent qui vaut exp(y))

La fonction x-> x^3 est surjective sur R effectivement et même bijective.

La fonction x-> x² de R dans R n'est ni injective ni surjective puisque : (-1)²=1² donc pas d'injectivité et -1 n'admet pas d'antécédent donc pas de surjectivité.
Par contre la fonction carré de R+ dans R+ est bijective.

Une fonction strictementmonotone est évidemment injective. La réciproque est vraie sous réserve de continuité de la fonction. Par contre il n'y a pas besoin de considérer les limites !

Une fonction non monotone n'est pas forcément une surjection (comme x->x² de R dans R)

Concernant ton équation, le fait que ln soit bijective implique que si deux éléments ont la même images alors ils sont égaux. En l'occurrence 5x+3 et x²+2 sont censés avoir la même image par ln, donc ils sont forcément égaux, c'est ce qui est écrit.


Tu remarqueras pour finir qu'il est très important pour les notions d'injectivité, surjectivité et bijectivité de préciser les ensembles d'arrivée et ensemble de départ !

Amicalement.

[emmanuel 68]

Un grand merci pour ta réponse!

Je me permets juste de revenir sur f(x) = x^3.

Cette fonction est bijective, ok. Mais f(x) = x^3 + x^2 - 6 serait uniquement surjective?

Pour injective, je comprends que les limites ne nous aide pas. il suffit que le f(x) soit continu et monotone pour garantir qu'on est fasse à une fonction injective.

Mais pour une fonction surjective, ca peut aider non? Car si une fonction à une limite finie, cela veut dire que tous les y (en considérant que le domaine des y = R) n'ont pas d'antécedant? Ca colle comme raisonnement?

Ensuite, pour mon équation de Ln, je sens effectivement qu'il y a un truc et que on peut simplifier. Mais.... tu dis qu'ils ont la même image? Cela voudrait dire que étant donnée que leur image est égale à exp(y), on peut simplifier et ôter les ln?

Enfin, comment prouver vous qu'une fonction est injective, surjective ou est une bijection? A-t-il une règle à suivre?

Merci beaucoup pour tes explications Nightmare, c'est déjà beaucoup plus clair!

[Zavonen]

Tu peux aussi aller faire un tour ici

[emmanuel 68]

Je me permets encore de vous poser une question:

On voit souvent dans les exercices sur les bijections ce type de question

soit f : [ 1, +inf [ -> [0, + inf [ telle que f(x) = x²-1. f est-elle bijective?

Les deux domaines qui se suivent sont le premier ( [1, + inf[ ) pour le y et le deuxième ([0, + inf[ ) pour le x?

merci

[beagle]

tu prends x dans l'ensemble de départ, et f(x) le résultat doit ètre dans le deuxième ensemble, non?
bifection et truction marchent bien dans les patates.

[emmanuel 68]

Ok, donc si je traduis ca veut dire que:

le premier domaine est l'ensemble de départ (on peut penser x)

le deuxième domaine est l'ensemble d'arrivé (on peut penser y)