Démonstrations injection, surjection

[Johnny001]

Bonjour à tous, je bloque sur une démonstration...

Soit E un ensemble et A, B deux parties de E.
On considère l'application f : P(E)-->P(A) * P(B) définie par f(X) = (X inter A, X inter B)

1. démontrer que f est injective si et seulement si A union B = E
2. Démontrer que f est surjective si et seulement si A union B = vide

Voilà, je n'arrive pas a commencer. J'ai la définition de surjection et injection mais bon j'arrive pas à faire le lien..

Merci de m'aider ;)

[fahr451]

bonsoir
calcule f(E) et f(AUB)

[Johnny001]

f(E) = f(AUB)=(A, B) et a partir de la je peux dire que f est injective?

[fahr451]

non c 'est plutôt l'autre sens

en supposant f injective tu déduis que ...;

[Johnny001]

Soit f injective, pour tout (x1, x2) appartenat a E² f(x1)=f(x2)=>x1=x2

Je dois remplacer x1 et x2 par E et AUB ?

[fahr451]

ben oui en effet

[Johnny001]

Pour tout (AUB, E) appartenant à E² f(AUB)=f(E) => AUB=E car f injective

C sa et pour surjective?

[fahr451]

il manque un sens pour la première question
en supposant E = AUB
montrer f injective

[Astarog]

J'ai le meme problème et je bloque sur le second sens de l'équivalence, celui dont parle fahr451, merci de m'aider, à bientôt.

[fahr451]

prenons X et X ' ayant même image on a donc

X inter A = X ' inter A
et Xinter B = X ' inter B

or X = (Xinter A ) U (X (inter B) car E = A U B



donc X = X ' et l ' injectivité