Je suis en 1ere année de Prépa ENS option D2 (éco gestion).
J'ai un DM qui me pose un problème, sur un exercice concernant les applications ainsi que les injections/surjections/bijections...
Voici l'énoncé:
Partie A:
1) X inter A = Y inter B
X inter A U B = Y inter A U B
or A U B = E d'où X inter E = Y inter E soit X=Y.
2) Si AUB=E, on a montré que X inter A = Y inter A implique X=Y.
On en déduit que pour X inter B = Y inter B, on a aussi X=Y.
Ce qui donne: Si AUB=E, (X inter A, X inter B) = (Y inter A, Y inter B) si et seulement si X=Y
L'application est donc injective.
3) a) Si AUB =/= E, A et B appartenant à P(E), il existe au moins un {x} appartenant à E tel que {x] n'appartient pas à AUB, c'est à dire {x} n'appartient pas à A et {x} n'appartient pas à B.
Si {x} n'appartient pas à A, {x} inter A = ensemble vide
Même raisonnement pour {x} inter B.
b) Si AUB =/= E, on a {x} inter A = ensemble vide, et {x} inter B = ensemble vide
Si X inter A = Y inter A
X inter A inter {x} = Y inter A inter {x}
Soit X inter 0 = Y inter 0
0 = 0
X peut être différent de Y, donc X inter A = Y inter A n'implique pas X=Y
Même raisonnement avec X inter B = Y inter B
Donc l'application n'est pas injective.
4) Il faut que AUB=E
Cette première partie vous paraît-elle correcte ? Mon gros problème c'est le 1 de la partie B (et celle qui suit, la conclusion me semble "simple").
Je pose la définition de la surjectivité: une application de E vers F est surjective si quelque soit y appartient à F, il existe au moins un x appartenant à E tel que y=f(x). Mais ici je n'arrive pas à transposer cette définition à l'application...L'ensemble d'arrivée est E non ?
Aussi, puisque A inter B = 0, les ensembles sont disjoints et j'ai pensé à faire deux cas: Le cas où AUB = E et le cas où AUB =/= E
Mais dans ces deux cas là, je bloque, je ne vois pas ce que je peux démontrer et surtout d'où partir...
Merci d'avance !
(X) = (C,D)