Image espace vectoriels

[Nightmare]

Dire que f est bijective ça équivaut à dire que son image est l'espace entier donc qu'elle a même dimension que ce dernier. Si ce n'est pas le cas l'application n'est pas bijective

[Dante0]

Dire que f est bijective ça équivaut à dire que son image est l'espace entier donc qu'elle a même dimension que ce dernier. Si ce n'est pas le cas l'application n'est pas bijective

Tout ce que je sais sur dimimf d'après mon cours c'est qu'il est égal à rangA/rangf...
L'ensemble des images c'est pas forcément une famille de vecteurs libre n'est-ce pas ?

[Anonyme]

Tout ce que je sais sur dimimf d'après mon cours c'est qu'il est égal à rangA/rangf...
L'ensemble des images c'est pas forcément une famille de vecteurs libre n'est-ce pas ?

L'ensemble des images ( Im g ) est un E.V dont la dimension est au plus 3 ( dans cet exo car la matrice B est (3,3) )

et on cherche justement la dimension de cet E.V.

Il te suffit

- soit de calculer le rang de la matrice B ( = dimension de Im g )

- soit comme tu connais déjà pour Im g une famille génératrice de 3 vecteurs , essaie de vérifier si cette famille est libre

[Dante0]

L'ensemble des images ( Im g ) est un E.V dont la dimension est au plus 3 ( dans cet exo car la matrice B est (3,3) )

et on cherche justement la dimension de cet E.V.

Il te suffit

- soit de calculer le rang de la matrice B ( = dimension de Im g )

- soit comme tu connais déjà pour Im g une famille génératrice de 3 vecteurs , essaie de vérifier si cette famille est libre

Img n'est pas forcément composée d'une famille de vecteurs libres on est bien d'accord ?

[Anonyme]

Img n'est pas forcément composée d'une famille de vecteurs libres on est bien d'accord ?

OUI tu as raison

ps)
je crois que j'aurais mieux fait de ne pas intervenir de nouveau dans cette discussion car je pense que tu ne comprends pas mes explications
Désolé pour mes réponses dans cette discussion qui ne te servent à rien...

[Anonyme]

@DANTE0

OK je vais t'aider , car j'ai promis au père Noel d'être TOUJOURS sympa en toute circonstance....

Es-tu OK avec ce qui suit ?

1) Im g est un EV de dimension au plus 3

2) Im g est un EV dont une famille génératrice est constituée de 3 vecteurs

3) Si tu démontres que cette MEME famille de 3 vecteurs (c'est à dire les 3 vecteurs de LA famille génératrice que tu as trouvé précédemment) est libre
alors on pourra dire que la dimension de Im g est 3

4) si dim Im g = 3 alors dim Ker g = 0 et donc g est une application......

[Dante0]

En fait je comprends pas du tout ce qu'on essaye de démontrer... Le topic était quasi clos tout ce que je voulais savoir c'est si vous étiez d'accord avec ce paragraphe qui est directement tiré de mon cours :

La c'est dans mon cours. :lol3:
Si je résume ca donne :
1)Si l'application linéaire est surjective alors c'est vrai puisque tout élément de U appartient à Imf.
2)Si l'application linéaire est injective alors le système a au plus une solution, il a une solution unique si U est un élément de Imf et n'a pas de solution dans le cas contraire.
3)Si l'application linéaire est bijective alors le système a une solution unique. La matrice est inversible et

Vous avez répliqué avec des notions que je maîtrise pas, tu fais allusion au théorème du rang dans ton dernier post ?
Parce que bon dimimg on s'en moque un peu dans le cadre de l'énoncé de l'exo non ? Idem pour dimker... D'ailleurs pour trouver ce dernier il suffit juste d'appliquer le théorème des dimensions.
Tu dis que je ne comprends pas, mais en fait je ne sais même pas ce qu'il y'a à comprendre. :triste:

Enfin bref si c'est HS c'est inutile de poursuivre sur des notions qui ne me seront pas utiles pour mon examen prévu dans quelques dizaines d'heures. Je pense avoir compris ce que je voulais merci ! =)

[Anonyme]

Posté par Dante0
La c'est dans mon cours.
Si je résume ca donne :
1)Si l'application linéaire est surjective alors c'est vrai (il faudrait savoir quoi ? ) puisque tout élément de U appartient à Imf.
2)Si l'application linéaire est injective alors le système (lequel Y=BX ?? ou X=B^-1 Y ? ) a au plus une solution, il a une solution unique si U est un élément de Imf et n'a pas de solution dans le cas contraire ?????
3)Si l'application linéaire est bijective alors le système a une solution unique. La matrice est inversible et X = A^{-1}U La matrice s'appelle B

Bonne chance pour demain matin (j'ai calculé qu'une 10 heures = 1 nuit)


ps)
L'important c'est :

Je pense avoir compris ce que je voulais

[Dante0]

Ca va j'ai compris toutes les remarques en rouge c'est bon signe ! :)
Ps: Tu as mal lu, j'ai marqué "quelques dizaines" et non pas "une dizaine" ce qui implique que j'ai encore quelques nuits de sommeil devant moi. ^^
Ps2: Si seulement je dormais dix heures par nuit... :triste:

[Anonyme]

@Dante0

Bosser ses maths c'est TRES bien
Dormir : c'est pas mal non plus....

ps)
Cela ne sert à rien de bosser ses maths 10H d'affilées

par contre cela fait du bien de dormir 10H d'affilées au moins de temps en temps

[Dante0]

@Dante0

Bosser ses maths c'est TRES bien
Dormir : c'est pas mal non plus....

ps)
Cela ne sert à rien de bosser ses maths 10H d'affilées

par contre cela fait du bien de dormir 10H d'affilées au moins de temps en temps

Je sais bien, mais je travaille lentement, t'as du t'en rendre compte.

[Nightmare]

1)Si l'application linéaire est surjective alors c'est vrai puisque tout élément de U appartient à Imf.
2)Si l'application linéaire est injective alors le système a au plus une solution, il a une solution unique si U est un élément de Imf et n'a pas de solution dans le cas contraire.

Tout ceci est vrai, mais ce que je te dis c'est que dans ton cas, qui est celui de la dimension finie, il n'y a pas à faire de distinction entre injectif et surjectif car les deux sont équivalents.

Ici, tu as trouvé une base de Im(f), qui est de cardinal 2, donc dim(Im(f)) (qu'on appelle rang de f et qu'on note rg(f)) vaut 2. Cela veut donc dire que ton application n'est ni surjective ni injective, car si elle était l'un ou l'autre, elle serait bijective donc son image serait l'espace tout entier qui est de dimension 3.

[Dante0]

Ah ok je citais juste la propriété générale.

[Dante0]

C'est bizarre dans cette autre matrice :

2 2 2
2 2 2
1 1 1

Imf = x(C1) avec x réel
Pourquoi est-ce qu'on a pas pris toutes les colonnes : x(C1)+y(C2)+z(C3) comme dans cet exercice ?

[Nightmare]

Parce que les 3 colonnes forment une famille liée, elles sont même égales.

Un vecteur qui s'écrit sous la forme xC1+yC2+zC3 s'écrit a fortiori sous la forme kC1

[Dante0]

Parce que les 3 colonnes forment une famille liée, elles sont même égales.

Un vecteur qui s'écrit sous la forme xC1+yC2+zC3 s'écrit a fortiori sous la forme kC1

Pourtant dans notre cas, on avait une dépendance, ca nous a pas empeché d'écrire les 3 colonnes...

[Nightmare]

Pourtant dans notre cas, on avait une dépendance, ca nous a pas empeché d'écrire les 3 colonnes...

Non, et ça ne nous a pas empêché non plus par finir par conclure que 2 suffisait. Regarde notre discussion, n'as-tu pas dis toi même que la base était composée de deux vecteurs?

[Dante0]

Non, et ça ne nous a pas empêché non plus par finir par conclure que 2 suffisait. Regarde notre discussion, n'as-tu pas dis toi même que la base était composée de deux vecteurs?

Oui la base !
Donc quand on cherche l'image on va chercher à prendre uniquement les vecteurs libres ?
Parce que c'est assez lourd, parfois on les prend, parfois non... Je pense pas que ce soit jugé faux mais tout de même, en maths la rigueur est de mise...

[Nightmare]

Quand on cherche une base à partir d'une famille génératrice, on retire les vecteurs qui sont combinaison linéaire des autres.

L'image sera toujours engendrée par toutes les colonnes de la matrice, mais pour en trouver une base il faut retirer celles qui sont superflues.

[Dante0]

Quand on cherche une base à partir d'une famille génératrice, on retire les vecteurs qui sont combinaison linéaire des autres.

L'image sera toujours engendrée par toutes les colonnes de la matrice, mais pour en trouver une base il faut retirer celles qui sont superflues.

Ok c'est clair ! merci ! ^^