Image directe / Image réciproque

[GeorgeB]

Bonjour !!

Comme je passe en prépa l'année prochaine, je bosse le tout début du programme et là je bloque sur un exo :

On sait que avec f: E-->F si et seulement si f surjective, ce qui est logique.

Après j'ai un énoncé, où l'on me demande de montrer que avec f:E-->F

La correction nous dit x € f^-1(BUB') f(x)€BuB' ....

Je ne met pas la suite. Je ne comprends pas cette première équivalence qui a l'air de contredire ce que j'ai mit avant ...

Merci !!

[girdav]

C'est la définition de l'image réciproque. Pour simplifier on écrit et si et seulement si . Si ce n'est pas la définition que tu as à disposition, quelle est-elle?

[Hiphigenie]

Par définition de l'image réciproque d'une partie d'un ensemble, .

[GeorgeB]

Bonsoir,

Merci à vous deux !

Si c'est exactement la définition que j'ai sur mon cours. Cependant je trouve que c'était paradoxal, puisque dans :
x € f^-1(BUB') <=> f(x)€BuB'

On "fait passer dans f" et donc pour moi on peut écrire x € f^-1(BUB') <=> f(x)€f(f^-1(BuB'))=BuB'

ce qui n'est pas vrai d'après la propriété cité au dessus.

[benekire2]

Salut à vous,

Non, soit tu fait par la définition de f^-1(B) [B une partie de F avec f:E-->F ]

Par contre il est faut que : f(x)€f(f^-1(BuB'))=BuB' mais il est vrai que f(x)€f(f^-1(BuB'))€BuB' ( le deuxième € pour l'inclusion )

puisque il est vrai que f(f^-1(BuB'))€BuB' inclusion au sens large, avec égalité ssi f injective comme tu l'a dit !

[Doraki]

Bonsoir,

Merci à vous deux !

Si c'est exactement la définition que j'ai sur mon cours. Cependant je trouve que c'était paradoxal, puisque dans :
x € f^-1(BUB') f(x)€BuB'

On "fait passer dans f" et donc pour moi on peut écrire x € f^-1(BUB') f(x)€f(f^-1(BuB'))=BuB'

ce qui n'est pas vrai d'après la propriété cité au dessus.

la définition de la fonction f-1 sur les parties de F dit bien que
"x est dans f-1(A)" "f(x) est dans A".
C'est une question de définition et certainement pas d'un principe qui dirait que "x est dans A" "f(x) est dans f(A)" et "x est dans f(f-1(A))" "x est dans A", vu que les 2 équivalences sont fausses (quand f n'est pas injective pour la première, et quand f n'est pas surjective pour la deuxième)

C'est certes tentant d'écrire ça mais faut faire attention.
les "fonctions" f et f-1 transportées sur les parties de E et de F agissent un peu comme la vraie fonction f de E dans F, mais il faut garder à l'esprit que ce sont des trucs différents.

[GeorgeB]

Merci à vous !