Divisibilité et nombres premiers

[Clembou]

Bonjour à tous,

je viens de passer mes oraux de CAPES de Mathématiques et pendant ces épreuves, j'ai voulu exposer un exercice sur l'indicatrice d'Euler mêlant probabilités et arithmétique.

Dans l'exercice, il m'était demandé de montrer l'équivalence suivante :

Soit et deux nombres premiers distincts. Montrer que :



avec un nombre entier.

Bien entendu, l'implication directe est très facile mais je n'ai pas réussi à montrer la réciproque (même maintenant).

Donc question, est-ce que la réciproque se montre facilement (auquel cas j'aurai un peu la honte) ? difficilement ? ou la réciproque est fausse ?

Merci d'avance,
Clément

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour Clément,

Sans penser dire n'importe quoi, ne suffit-il pas d'écrire la décomposition en facteurs premiers de a ?



J'en profite d'ailleurs pour croiser les doigts ;)

[Joker62]

pq|a => il existe k dans Z tel que a = kpq => a = (kp)q => q|a car kp dans Z

de même pour p

En fait on s'en fiche qu'ils soient premiers dans la réciproque.

C'était quoi ton tirage ?

[manoa]

Bien entendu, l'implication directe est très facile mais je n'ai pas réussi à montrer la réciproque (même maintenant).

Donc question, est-ce que la réciproque se montre facilement (auquel cas j'aurai un peu la honte) ? difficilement ? ou la réciproque est fausse ?

Merci d'avance,
Clément

euh, c'est plutôt la réciproque qui est directe : q|qp et pq|a => q|a , de même pour p.
l'implication directe, demande à ce que je me rappelle l'usage de Bézout.

(ou alors on ne conçoit pas directe et réciproque de la même manière :lol5: )

[Kikoo <3 Bieber]

Le tirage est visible sur le site de M. B :

Equations du second degré à coeff réels ou complexes
Séries numériques

[Clembou]

M. B ?

Oui, c'est bien ce couplage que j'ai eu

J'ai fait un compte-rendu détaillé de mes oraux ici : http://cboumaths.wordpress.com/2012/06/29/compte-rendu-des-epreuves-orales-du-capes/

[Kikoo <3 Bieber]

*M. Boulonne* ;)

[Clembou]

euh, c'est plutôt la réciproque qui est directe : q|qp et pq|a => q|a , de même pour p.
l'implication directe, demande à ce que je me rappelle l'usage de Bézout.

(ou alors on ne conçoit pas directe et réciproque de la même manière :lol5: )

Je pense que j'ai confondu dans la définition de divisibilité (avec la fatigue (levé à 4h du mat pour passer à 9h) et le stress). Le Jury a dû être un peu surpris quand je leur ai dis que j'ai réussi l'implication directe et que je me suis planté dans la réciproque