Les groupes

[Nightmare]

La démo générale repose sur un théorème central de la théorie des groupes finis, le théorème de Lagrange :

Si H est un sous-groupe du groupe G, alors le cardinal de H divise le cardinal de G.

Si G est de cardinal premier, ses seuls sous-groupes sont alors {e} et G lui même. En particulier, si l'on regarde le sous-groupe généré par un élément g quelconque de G, ce groupe est soit {e}, auquel cas g=e lui même, soit G tout entier, et dans ce cas g génère G tout entier, qui est donc cyclique.

[barbu23]

La démo générale repose sur un théorème central de la théorie des groupes finis, le théorème de Lagrange :

Si H est un sous-groupe du groupe G, alors le cardinal de H divise le cardinal de G.

Si G est de cardinal premier, ses seuls sous-groupes sont alors {e} et G lui même. En particulier, si l'on regarde le sous-groupe généré par un élément g quelconque de G, ce groupe est soit {e}, auquel cas g=e lui même, soit G tout entier, et dans ce cas g génère G tout entier, qui est donc cyclique.

Merci.
J'ai besoin de montrer ça maintenant :
Si est un groupe fini d'ordre , alors, pour tout : .
Merci d'avance.

[Nightmare]

Tu n'as pas de bouquins ou de doc internet qui fait tout ça? Google peut t'en trouver de très biens!

[barbu23]

Tu n'as pas de bouquins ou de doc internet qui fait tout ça? Google peut t'en trouver de très biens!

La plupart des exos que j'ai, sont sans corrigés.

[leon1789]

Merci.
J'ai besoin de montrer ça maintenant :
Si est un groupe fini d'ordre , alors, pour tout : .
Merci d'avance.

Nightmare te parlait du théorème de Lagrange... Tu le connais ce théorème ?
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Lagrange_sur_les_groupes
Ce que tu demandes (l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe) en est un cas particulier... Le vois-tu ?

[barbu23]

Nightmare te parlait du théorème de Lagrange... Tu le connais ce théorème ?
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Lagrange_sur_les_groupes
Ce que tu demandes (l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe) en est un cas particulier... Le vois-tu ?

Voici comment je vois les choses :
Soit
Alors : est un sous groupe fini de , d'ordre .
Donc, ( Th. de Lagrange )
:
Donc :
C'est bien comme ça?. :happy3:

[acoustica]

La démo générale repose sur un théorème central de la théorie des groupes finis, le théorème de Lagrange :

Si H est un sous-groupe du groupe G, alors le cardinal de H divise le cardinal de G.

Si G est de cardinal premier, ses seuls sous-groupes sont alors {e} et G lui même. En particulier, si l'on regarde le sous-groupe généré par un élément g quelconque de G, ce groupe est soit {e}, auquel cas g=e lui même, soit G tout entier, et dans ce cas g génère G tout entier, qui est donc cyclique.

Tout ça est en fait assez intuitif (il suffit de se rappeler ce qu'il se passait quand on manipulait des modulos), mais en fait ce qui me gênait, c'est que dans le cas général, on a aucune raison que G soit fini. Il peut être dénombrable, mais on ne peut pas toujours parler de cardinal non ?

[leon1789]

oui bien sûr.




...en posant p=m :lol3:

[yos]

Il suffit de prendre l'élément : qui est d'ordre , car tu as dis que divise . :happy3:

C'est bien ça le bon argument et pas celui de Mohamed.
Le théorème de Cauchy est plus compliqué et inutile ici.

[barbu23]

Bonjour à tous, :happy3:
J'ai besoin de montrer le résultat suivant :
Soit un groupe.
Soit un sous groupe de
Soit un sous groupe distingué de
Alors, on a l'isomorphisme suivant :
Je dois montrer d'abord que est un sous groupe normal de et que est un sous groupe normal de .
Merci pour votre aide. :happy3:

EDIT : ça y est, j'ai trouvé la démonstration sur google, c'est le deuxième théorème d'isomorphisme. :happy3:

[barbu23]

Bonjour,
J'ai besoin de montrer le résultat suivant :
Soit un groupe.
Soient un sous groupe de et un sous groupe normal de
Montrer que est un sous groupe normal de
On a l'inclusion : .
Soient : et , on a : car : et
Correct ?
Merci pour votre aide.

[barbu23]

Bonjour :
Pourriez vous m'aider à démontrer le résultat suivant :
Soient un groupe et et deux sous groupes normaux de tels que : .
Montrer que est un sous groupe de
Établir l'isomorphisme suivant :
Merci d'avance.

[barbu23]

Bonjour :
Pourriez vous m'aider à démontrer le résultat suivant :
Soient un groupe et et deux sous groupes normaux de tels que : .
Montrer que est un sous groupe de
Établir l'isomorphisme suivant :
Merci d'avance.

.
En effet : est le neutre de
On a :
: et .
avec : ( car : )
:
Donc, est un sous groupe de .
:
car ( car est un sous groupe normal de ).
Par conséquent : est normal dans .
Correct ?

[barbu23]

Soit définie par : avec .
est bien définie. En effet :
Soient tels que .
Alors : . d'où : . C'est à dire : .
est un homomorphisme de groupes. En effet :
:
Soit , alors :
Donc est surjectif.
. En effet :
Soit . Alors : , donc . Par conséquent :
D'où le résultat. :happy3: