Groupes et sous groupes

[rifly01]

Bonjour,

J'ai un exercice que je ne comprends pas beaucoup... Merci de vouloir m'aider

Enoncé :
Soit un groupe. On appelle centre de G l'ensemble Z des éléments de G qui commuttent avec tous les autres. C'est a dire
. Montrer que Z est un sous groupe de G

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Ce que j'ai fai :



Bon ce que j'ai fait c'est plutôt le cours mais je ne sais pas comment démontrer ces trucs, alors si quelqu'un peut me donner une bonne méthode...

Merci d'avance.

[Charlotte59]

Slt,
J'crois que ta deuxième hypothèse c plutôt x, y€Z implique x*y€Z.
Sinon normalement ça donne ça.

e € Z car qq soit g€G : e*g = g*e (donc Z non vide)

Soit x€Z ; qq soit g€G :
g(-1)€G et x*g(-1)=g(-1)*x implique (x*g(-1))(-1)=(g(-1)*x)(-1)
implique (g(-1))(-1)*x(-1)=x(-1)*(g(-1))(-1) implique g*x(-1)=x(-1)*g implique x(-1)€Z;

Soient x, y€Z et g€G :
(x*y)*g = x*(y*g) = x*(g*y) = (x*g)*y = (g*x)*y = g*(x*y)
implique x*y€Z.