Les groupes

[barbu23]

Bonsoir,
Pouvez vous m'aider à démontrer le petit exercice suivant :
Si est un facteur premier de l'ordre d'un groupe cyclique fini , alors possède un élément d'ordre
Qu'est ce que ça veut dire que est un facteur premier de l'ordre d'un groupe cyclique fini ?
Merci d'avance.

[wserdx]

Ben, ça veut dire que p divise l'ordre du groupe Et que p est premier (il n'a pas de diviseur autre que 1 et lui même)
Si le groupe est cyclique fini, c'est qu'il y a un générateur g et que tout élément du groupe est de la forme g^n. L'ordre du groupe est le plus petit entier o tel que g^o=e (élément neutre).

[barbu23]

Merci beaucoup. :happy3:

[barbu23]

Ben, ça veut dire que p divise l'ordre du groupe Et que p est premier (il n'a pas de diviseur autre que 1 et lui même)
Si le groupe est cyclique fini, c'est qu'il y a un générateur g et que tout élément du groupe est de la forme g^n. L'ordre du groupe est le plus petit entier o tel que g^o=e (élément neutre).

Il suffit de prendre l'élément : qui est d'ordre , car tu as dis que divise . :happy3:

[alm]

Il suffit de prendre l'élément : qui est d'ordre , car tu as dis que divise . :happy3:

Attention!, ne suffit pas à priori.
donne juste est un entier naturel non nul et (ici )
Il faut préciser que p est minimal et c'est là qu'on se sert de la primalité.
Remarque : le résultat est vrai sans l'hypothèse : 'cyclique'.

Tout simplement si alors admet un sosu-groupe d'ordre et comme est premire ce sous-groupe est cyclique.

PS: C'est le théorème de Cauchy.

Edit:ajout du PS, suppression de balises tex en excès.

[barbu23]

Merci MOHAMMED. :happy3:

[alm]

Merci MOHAMMED. :happy3:

Je t'en prie barbu23 !

[barbu23]

Bonsoir à tous,
Comment démontrer qu'un groupe à éléments est cyclique ?
Merci d'avance.

[Nightmare]

Quelle peut être la forme des éléments de ton groupe d'ordre 3?

[barbu23]

Quelle peut être la forme des éléments de ton groupe d'ordre 3?

: élément neutre.
:happy3:
Je connais un théorème qui dit : tout groupe d'ordre premier est cyclique, mais, je connais pas la démonstration. :happy3:

[Nightmare]

mais encore?

Quelle relation as-tu entre a et b? N'oublie pas qu'on est dans un groupe et donc que ses éléments doivent vérifier des propriétés particulières.

[acoustica]

: élément neutre.
:happy3:
Je connais un théorème qui dit : tout groupe d'ordre premier est cyclique, mais, je connais pas la démonstration. :happy3:

L'Algebra de Serge Lang est super trop méga top géniale. Il y a un chapitre sur les groupes vraiment lumineux, dont la démo que tu cherches.

* fouille dans le livre *

Si on prend a =/= e dans un groupe G d'ordre premier, et H un sous-groupe généré par a, alors l'ordre de H divise l'ordre de G.... donc... le cardinal de H (mézalor cha veut dire que ce cardinal existe et ça, ça me chiffonne) divise p, donc que card(H)=p=card(G) puis que G=H. Donc G est cyclique.... si j'ai bien compris la démo. Mais cette histoire de cardinalité me gêne toujours.

Je dois dire que j'ai un peu de mal à jongler encore avec tout ça moi aussi^^

[barbu23]

Quelle relation as-tu entre a et b? N'oublie pas qu'on est dans un groupe et donc que ses éléments doivent vérifier des propriétés particulières.

Je suis une buse en théorie des groupes. je ne sais pas la réponse.
Si , alors, ( Absurde )
Si , alors ( absurde )
Donc,
car dans un groupe, tout élément est régulier.
non ? c'est pas comme ça ?

[barbu23]

Si mes souvenirs en maths sont bon, tout groupe d'ordre premier est cyclique, mais je ne connais pas la démonstration.

[Nightmare]

Oui, et que vaut a²? Arrives-tu alors à voir pourquoi le groupe est cyclique?

[barbu23]

Oui, et que vaut a²? Arrives-tu alors à voir pourquoi le groupe est cyclique?

Je ne sais pas à quoi est égal , je sais que ça doit être égal à , mais, je ne sais pas le démontrer.

[acoustica]

Je ne sais pas à quoi est égal , je sais que ça doit être égal à , mais, je ne sais pas le démontrer.

Je tâtonne comme toi :

je dirais qu'on a trois possibilités : : absurde.
: absurde

Donc

Puis : le groupe est cyclique.

[barbu23]

Je tâtonne comme toi :

je dirais qu'on a trois possibilités : : absurde.
: absurde

Donc

Ah d'accord, merci ...
Donc,
Donc, est cyclique. :happy3:
Merci beaucoup à vous deux. :happy3:

[acoustica]

Ah d'accord, merci ...
Donc,
Donc, est cyclique. :happy3:
Merci beaucoup à vous deux. :happy3:

Je t'ai posté plus haut la démontration générale que j'ai chopée dans le Serge Lang. Je ne suis pas certain d'avoir tout parfaitement saisi, mais bon si ça peut t'aider...

[barbu23]

Je t'ai posté plus haut la démontration générale que j'ai chopée dans le Serge Lang. Je ne suis pas certain d'avoir tout parfaitement saisi, mais bon si ça peut t'aider...

D'accord, merci. :happy3: