Groupes et sous-groupes

[ger-00-der]

Bonjour tout le monde,

f est un homomorphisme du groupe (G;T) vers le groupe (G',*)
Le noyau de l'homomorphisme est défini comme suit: N(f)=Ker(f)={x G/ f(x)=e}
J'ai montré que Ker(f) est un sous-groupe du groupe (G;T), comme j'ai montré que: Ker(f)={e} f est injective de G vers G'
On définit l'image de l'homomorphisme comme suit:
Im(f)={y G'/ G):y=f(x)}
Je dois montrer que Im(f) est un sous-groupe du groupe (G';*), comme je dois montrer que: Im(f)=G' f est surjective de G vers G'.
Pouvez-vous m'aider???
Et merci.

[Nightmare]

Salut,

c'est comme d'hab pour montrer qu'on a un sous groupe : On fixe a et b dans Im(f), qui sont donc de la forme f(x) et f(y) avec x et y dans G. On a a*(-b)=f(x)*(f(-y))=f(-xTy) et -xTy est dans G donc f(-xTy)=a*(-b) est dans Im(f). En plus Im(f) contient le neutre (puisque f(e)=e), ce qui fait un de lui un parfait sous-groupe.

Essaye de montrer la caractérisation de la surjectivité tout seul, utilise les définitions.

[ger-00-der]

Ok, grand merci.