Loi uniforme (again)

[Arkhnor]

Le théorème centrale limite dis :
Je prends X1 une variable aléatoire
X2 une autre, indépendante de X1, mais de même loi
X3 une autre, indépendante des précédentes mais de même loi

Il faut quand même une hypothèse sur la loi, sinon on risque de ne pas être dans le domaine d'attraction de la loi normale.

[Dlzlogic]

Autrement traduis :
Je considère un truc qui crache un résultat aléatoire (gain au loto pour tel choix de combinaison par exemple, nombre sur la face d'un dé...). Ce résultat n'a pas besoin d'être tiré de manière uniforme. Je lui fait cracher des résultats (de manière indépendantes) jusqu'à en avoir une liste (de 100 éléments par exemple). J'en calcule la moyenne (empirique) M1.

Je recommence, j'obtiens M2, M3,... Mn. Alors les différentes moyennes obtenues M1, M2, M3... se répartirons selon une gaussienne (si tu trace l'histogramme tu auras la courbe en cloche bien connue).

Dans le cas de tirage de boules de loto, dé à 6 faces, la moyenne n'est pas empirique, mais exactement connue.
Ce ne sont pas les moyennes qui nous intéresse, mais les écarts à la moyenne.
Par parenthèse, ce que tu appelles la moyenne empirique est appelée dans le cours "postulat de la moyenne", cad la moyenne arithmétique.

[Sylviel]

Non, relis ce que je t'ai écris, je sais exactement de quoi je parle.

La moyenne empirique est la moyenne obtenue a partir des tirages.
C'est (X1+X2+X3+...+Xn)/n. Il s'agit d'une variable aléatoire. Il se trouve qu'elle ressemble, pour n grand (convergence en loi, la vitesse de convergence peut même être estimée), à une loi normale centrée sur l'espérance de X1 (ou de n'importe quel Xi).

P.S : la loi de Y - m, où m est un réel (typiquement l'espérance, que tu appeles moyenne exacte) se déduis directement de la loi de Y par simple translation.

[Sylviel]

En fait je vais te réexpliquer ce que j'ai dis plus haut dans le cas des dés.

On prend 100 dés parfaitement identiques.

Je les lance une première fois, je fais la somme des chiffres et je divise par 100. Cela me done M1.
Je recommence le lancer, la somme, la division, cela me donne M2.
Je recommence, cela donne M3, M4...

Et les valeurs M1, M2, ... M1000 vont se répartir globalement suivant la courbe de gausse. Ce qui veut dire que la variable aléatoire :
(D1 +D2 + ... + D100)/100 suis une loin normale (ou presque).

[Dlzlogic]

Bonjour,
Depuis plusieurs mois que ce débat est entamé, il me semble qu'on a déjà fait un progrès énorme.

Citation:
Posté par fatal_error
Es-tu d'accord qu'en tracant la courbe qui au numero de face du de associe le nombre de fois que le de est sorti que on a a peu pres une droite horizontale? (et donc pas une gaussienne?) [fin de citation]
Oui, ce qui signifie, en d'autres termes que le dé se souvient du nombre de fois que chaque face est sortie.

Donc, soit M la moyenne des nombres de tirages de chacune des faces. Dans le cas présent de dé, M est connu = N/6, si N est le nombre de tirages. M = Somme(ti)/6 : moyenne arithmétique.

Ceci implique la notion "rattrapage du retard".

Concernant la moyenne :
Le théorème central limite précise "moyenne empirique", et donne sa formule qui est la moyenne arithmétique.
Pour exprimer la même chose, vers les années 1960, on disait "postulat de la moyenne" et on ajoutait que c'était la moyenne arithmétique.
Donc il semble bien qu'on parle de la même chose.

Le théorème donne le résultat en fonction de la variance, vers les années 60, on parlait plutôt de l'écart-type, qu'on appelait d'ailleurs "écart moyen quadratique". La variance étant le carré de l'écart type, on parle encore de la même chose.

Le théorème parle de "loi gaussienne", autrefois on disait plutôt "loi normale" dont la représentation est la courbe de Gauss qui comme chacun sait ne contient pas de paramètre, donc est unique, mais peut être représentée avec différents rapports d'échelle.

@ Sylviel,
Dans tes deux dernières réponses, il n'apparait pas très clairement si tu fais la somme des valeurs de faces sorties puis leur moyenne ou le comptage des nombre de sorties de chaque face, la moyenne étant forcement connue, puisque c'est le nombre de tirages divisé par 6.
Dans la première hypothèse, c'est à dire celle qu'on lit, que se passerait-il s'il s'agissait de dés à jouer pour enfant, où au lieu de nombres, on aurait mis des images d'animaux ?

Le texte du théorème est très clair, il s'agit de la répartition des nombres des écarts à la moyennes, suivant la constatation que plus cet écart à la moyenne est grand, moins il a de chances d'arriver.

P.S : la loi de Y - m, où m est un réel (typiquement l'espérance, que tu appeles moyenne exacte) se déduis directement de la loi de Y par simple translation.

La notion de "valeur vraie" (que je n'ai jamais appelée moyenne exacte" est une notion intellectuelle. Dans le cas de mesures (valeurs réelles) et dans le cas général, cette valeur n'est pas connue. C'est la raison pour laquelle, dans le calcul de l'écart-type, le dénominateur est (N-1) et non N, si N est le nombre d'observations. Dans le cas des fermetures de triangles, la valeur vraie est connue, c'est 180°.
Ne crois-tu pas que si j'avais parlé de "translation" tu ne m'aurais pas répondu que ça n'avait aucun rapport et que je ne parlais jamais clairement ?

[ffpower]

Bonjour,
Depuis plusieurs mois que ce débat est entamé, il me semble qu'on a déjà fait un progrès énorme.

Je pense aussi, et à mon avis on devrait arriver à un compromis..d'ici quelques mois^^

Ceci implique la notion "rattrapage du retard".

Nope: Si on lance un dé un trés grand nombre de fois, que sur les 1000 premiers coups on fait que des 1 (pas de bol XD), puis qu'après on fait que 1-2-3-4-5-6-1-2-3-4-5-6-1-2-3-4-5-6..., la proportion pour chaque face va tendre vers 1/6, sans qu'on ait à rattrapper les 1000 coups de retard..

Le théorème donne le résultat en fonction de la variance, vers les années 60, on parlait plutôt de l'écart-type, qu'on appelait d'ailleurs "écart moyen quadratique". La variance étant le carré de l'écart type, on parle encore de la même chose.

Le théorème parle de "loi gaussienne", autrefois on disait plutôt "loi normale" dont la représentation est la courbe de Gauss qui comme chacun sait ne contient pas de paramètre, donc est unique, mais peut être représentée avec différents rapports d'échelle.

Si ça peut te rassurer, les termes "loi normale" et "écart type" continuent à être utilisés aujourd'hui. Quant aux paramètres de la gaussienne, bah c'est justement le changement d'échelle (lié à la variance/écart type) et la translation de la courbe (lié à la moyenne théorique/espérance)
A part ces 2 trucs, il n'y a effectivement pas de paramètres

@ Sylviel,
Dans tes deux dernières réponses, il n'apparait pas très clairement si tu fais la somme des valeurs de faces sorties puis leur moyenne ou le comptage des nombre de sorties de chaque face, la moyenne étant forcement connue, puisque c'est le nombre de tirages divisé par 6.
Dans la première hypothèse, c'est à dire celle qu'on lit, que se passerait-il s'il s'agissait de dés à jouer pour enfant, où au lieu de nombres, on aurait mis des images d'animaux ?

Sylviel parlait de la première hypothèse..Donc si c'était des animeaux au lieu de nombres, bah on pourrait pas faire la somme des valeurs effectivement
Si tu préfére un analogue plus concret: disons qu'un magasin vend des objets entre 1 et 6 euros. On considérent que les clients venant dans le magasins achetent un objet au hasard, avec un hasard uniforme, et de manière indépendante des achats des autres clients. Le but étant alors d'estimer la recette du magasin après qu'un grand nombre de clients soit passé.

[Skullkid]

Citation:
Posté par fatal_error
Es-tu d'accord qu'en tracant la courbe qui au numero de face du de associe le nombre de fois que le de est sorti que on a a peu pres une droite horizontale? (et donc pas une gaussienne?) [fin de citation]
Oui, ce qui signifie, en d'autres termes que le dé se souvient du nombre de fois que chaque face est sortie.

Avec ces citations imbriquées je sais pas très bien qui a dit quoi dans le texte ci-dessus, mais quoi qu'il en soit il est absolument faux de dire que le dé se souvient du nombre de fois que chaque face est sortie. Si je pose un dé normal sur une table devant toi, il n'y a aucun moyen d'accéder à l'histoire des tirages de ce dé. Dire que les tirages de dé respectent une loi uniforme n'est en aucune façon équivalent à dire que le dé fait un effort pour la respecter la loi uniforme ou que le dé se souvient de ce qu'il a sorti précédemment et agit en conséquence.

Dire que le dé se souvient de ce qu'il a sorti précédemment (et il se souvient à partir de quand, d'ailleurs ?) c'est dire ce que Dlzlogic a déjà dit de nombreuses fois, à savoir que si un dé équilibré sort 1000 fois de suite la face 6 (événement très rare mais pas impossible) alors il a une probabilité quasi-nulle de sortir 6 au 1001ème tirage. Cela est faux, profondément faux et les simulations avec le rand corrigé faites dans un topic précédent l'ont démontré (et, non Dlzlogic, ces fonctions rand corrigées ne font pas exprès de suivre une loi normale puisqu'elles sont censées modéliser le plus fidèlement possible une loi uniforme).

Concernant la moyenne :
Le théorème central limite précise "moyenne empirique", et donne sa formule qui est la moyenne arithmétique.
Pour exprimer la même chose, vers les années 1960, on disait "postulat de la moyenne" et on ajoutait que c'était la moyenne arithmétique.
Donc il semble bien qu'on parle de la même chose.

Jusqu'à présent (ou alors j'ai raté quelque chose), quand on te demandait ce qu'était le postulat de la moyenne, tu répondais "lors d'une série de tirages aléatoires, la moyenne arithmétique des résultats est la valeur la plus probable". Cette phrase telle quelle est complètement fausse et on t'a sorti des tonnes d'exemples, le plus simple étant un tirage suivant une loi uniforme entre deux valeurs chiffrées, 0 et 1 par exemple. La moyenne arithmétique des résultats sera très certainement un nombre non entier entre 0 et 1 qui ne sera jamais atteignable comme résultat du tirage. Face à cet argument on ne peut plus simple, ta riposte classique c'est "ouais mais au lieu de tirer 0 et 1 j'aurais pu tirer A et B ou renard et chimpanzé et évidemment la moyenne n'a pas de sens". Même s'il est vrai que ça n'a pas de sens de parler de la moyenne arithmétique d'un renard et d'un chimpanzé, tu ne réponds pas du tout à l'argument qui pointe ton manque cruel de rigueur et de compréhension des mots que tu emploies (de la part de quelqu'un qui fait sans cesse l'éloge du raisonnement scientifique, de la rigueur et de la valeur des démonstrations, c'est un comble).

Ce qui est une conséquence du théorème central limite (en fait, c'est surtout la loi des grands nombres qui dit ça, mais ici ça importe peu), ce n'est PAS "lors d'une série de tirages aléatoires, la moyenne arithmétique est des résultats est la valeur la plus probable", c'est "lors d'une série de N tirages aléatoires INDÉPENDANTS ET SUIVANT LA MÊME LOI DE PROBABILITÉ, qui portent sur des nombres réels, avec N suffisamment grand, la valeur la plus probable de LA MOYENNE DES RÉSULTATS DES N TIRAGES est l'espérance de la loi de probabilité en question".

Les passages que j'ai mis en gras majuscule ne sont pas là pour décorer, ils sont absolument fondamentaux, et ils font que ça ne dit pas du tout la même chose que ton postulat de la moyenne. Cette deuxième phrase entre guillemets ne dit pas non plus que "la répartition des écarts à la moyenne suit une loi normale", elle dit que "la répartition des écarts de la moyenne arithmétique des résultats des tirages à l'espérance de loi suit une loi qui ressemble à une loi normale".

Le véritable énoncé du TLC emploie des termes plus précis (il utilise notamment une définition claire de "ressembler à une loi normale").

@ Sylviel,
Dans tes deux dernières réponses, il n'apparait pas très clairement si tu fais la somme des valeurs de faces sorties puis leur moyenne ou le comptage des nombre de sorties de chaque face, la moyenne étant forcement connue, puisque c'est le nombre de tirages divisé par 6.
Dans la première hypothèse, c'est à dire celle qu'on lit, que se passerait-il s'il s'agissait de dés à jouer pour enfant, où au lieu de nombres, on aurait mis des images d'animaux ?

Dans son exemple, Sylviel fait la somme des valeurs sur les faces. En effet, cette opération n'est pas possible si ce ne sont pas des nombres sur les faces puisque le théorème central limite parle de variables aléatoires réelles. C'est pourquoi on cherche souvent à se ramener à des nombres réels, par exemple en comptant le nombre de sorties de chaque face, indépendamment de ce qu'il y a écrit dessus. Mais là on change de variable aléatoire, on change de loi.

J'ai un dé classique dont les 6 faces sont désignées par les chiffres de 1 à 6. Je fais N lancers consécutifs de ce dé. Au k-ième lancer j'associe la variable aléatoire "résultat du k-ième lancer", que je note par exemple qui suit une loi uniforme sur l'ensemble {1,2,3,4,5,6}. Là-dessus je peux appliquer le théorème central limite (parce que je suis bien en présence d'une suite de variables aléatoires réelles de même loi et que les tirages sont supposés indépendants, ce qui au passage signifie justement que le dé ne se souvient pas de ce qu'il a sorti avant) : si je fais la moyenne arithmétique des (qui est donc un nombre entre 1 et 6), la probabilité d'obtenir un nombre m est d'autant plus faible que m est éloigné de 21/6, et elle diminue à peu près comme en suivant une gaussienne.

J'ai maintenant un dé exotique dont les 6 faces sont désignées par 1, 2, 3, 4, 5 et 100. Les suivent cette fois la loi uniforme sur {1,2,3,4,5,100}. Le théorème central limite s'applique toujours aux variables "résultat du k-ième lancer" : si je fais la moyenne arithmétique des (qui est donc un nombre entre 1 et 100), la probabilité d'obtenir un nombre m est d'autant plus faible que m est éloigné de 115/6, et elle diminue à peu près comme en suivant une gaussienne.

Je passe maintenant à un dé dont les 6 faces sont désignées par les lettres de A à F. Les suivent cette fois la loi uniforme sur {A,B,C,D,E,F}. Le théorème central limite ne s'applique pas aux puisque ce ne sont pas des variables aléatoires réelles. Pour pallier ce problème je peux par exemple m'intéresser à une autre suite de variables aléatoires, par exemple la variable qui vaut 1 si le résultat du k-ième lancer est A, et 0 sinon. suit une loi binomiale. Cette fois-ci je peux appliquer le théorème central limite : si je fais la moyenne arithmétique des (c'est-à-dire si je calcule la fréquence d'apparition de la face A sur mes N tirages), la probabilité d'obtenir un nombre m est d'autant plus faible que m est éloigné de 1/6, et elle diminue à peu près comme en suivant une gaussienne.

Le texte du théorème est très clair, il s'agit de la répartition des nombres des écarts à la moyennes, suivant la constatation que plus cet écart à la moyenne est grand, moins il a de chances d'arriver.

Encore une fois, c'est faux tel que tu le dis, et c'est tout sauf clair : le nombre des écarts DE QUOI à la moyenne DE QUOI ?

[Dlzlogic]

@ffpower

Nope: Si on lance un dé un trés grand nombre de fois, que sur les 1000 premiers coups on fait que des 1 (pas de bol XD), puis qu'après on fait que 1-2-3-4-5-6-1-2-3-4-5-6-1-2-3-4-5-6..., la proportion pour chaque face va tendre vers 1/6, sans qu'on ait à rattrapper les 1000 coups de retard..

Justement, le théorème central limite montre que ce proposition "si ..." est "presque impossible".

[ffpower]

@ffpower
Justement, le théorème central limite montre que ce proposition "si ..." est "presque impossible".

Mon exemple de tirage est efectivement presque impossible (comme tout autre exemple de tirage..et y a pas besoin de TCL pour montrer ça). C'était juste un exemple pour mettre en évidence qu'il n'ait pas nécessaire de rattrapper les retards pour que les proportions tendent vers 1/6

[Dlzlogic]

@Skullkid

Le véritable énoncé du TLC emploie des termes plus précis (il utilise notamment une définition claire de "ressembler à une loi normale").

NON, l'expression employée est

converge en loi vers la loi gaussienne N(0, 2) :

Il vrai que j'avais surtout employé l'expression "tend vers" au lieu de "converge".
J'ai parlé de "mémoire du dé" en référence aux réponses "humoristiques" du départ.

Pour le reste, tu m'excuseras (en fait certainement pas) mais je n'ai parcouru que rapidement. J'ai déjà assez lu de tes affirmations "c'est faux".
Concernant

Ce qui est une conséquence du théorème central limite (en fait, c'est surtout la loi des grands nombres qui dit ça, mais ici ça importe peu), ce n'est PAS "lors d'une série de tirages aléatoires, la moyenne arithmétique est des résultats est la valeur la plus probable", c'est "lors d'une série de N tirages aléatoires INDÉPENDANTS ET SUIVANT LA MÊME LOI DE PROBABILITÉ, qui portent sur des nombres réels, avec N suffisamment grand, la valeur la plus probable de LA MOYENNE DES RÉSULTATS DES N TIRAGES est l'espérance de la loi de probabilité en question".

Les passages que j'ai mis en gras majuscule ne sont pas là pour décorer, ils sont absolument fondamentaux, et ils font que ça ne dit pas du tout la même chose que ton postulat de la moyenne. Cette deuxième phrase entre guillemets ne dit pas non plus que "la répartition des écarts à la moyenne suit une loi normale", elle dit que "la répartition des écarts de la moyenne arithmétique des résultats des tirages à l'espérance de loi suit une loi qui ressemble à une loi normale".

C'est une affirmation de ta part, le texte d'origine serait bien venu.

[Dlzlogic]

Mon exemple de tirage est efectivement presque impossible (comme tout autre exemple de tirage..et y a pas besoin de TCL pour montrer ça). C'était juste un exemple pour mettre en évidence qu'il n'ait pas nécessaire de rattrapper les retards pour que les proportions tendent vers 1/6

Ben, si. Il est tout de même étonnant que tantôt on m'oppose le théorème central limite, tantôt on me dit qu'il n'est applicable. On est sur un forum de maths ou pas ?

[ffpower]

Il est applicable, mais on peut s'en passer ici, et être même plus précis: la proba que les 1000 premiers coups soient des 1 est la même que la proba de n'importe quelle autre séquence de 1000 chiffres, à savoir 1/6^1000..ce qui est effectivement une proba très faible..Je voulsais juste dire:n'utilisons pas l'artillerie lourde quand on peut facilement s'en sortir avec un canif

PS: en math, "tendre" et "converger" sont des synonymes.
PS2: tu devrais quand même lire en entier le post de Skullkid,ya des choses intéressantes à en tirer

[Skullkid]

@Skullkid

Le véritable énoncé du TLC emploie des termes plus précis (il utilise notamment une définition claire de "ressembler à une loi normale").

NON, l'expression employée est

converge en loi vers la loi gaussienne N(0, 2) :

Il vrai que j'avais surtout employé l'expression "tend vers" au lieu de "converge".

Encore une belle démonstration de mauvaise foi... Comme l'a dit ffpower, "converge vers" et "tend vers" ça veut dire la même chose. "converge en loi" fait partie des termes plus précis auxquels je faisais référence. Parce qu'il y a plusieurs types de convergence dans le monde des probabilités, et elles ne veulent pas dire la même chose. C'est pour ça que j'ai moi-même pointé le fait que "ressembler à" était flou comparé au vrai énoncé. M'enfin de toute façon comme tu n'as toujours pas compris le sens de "tirages indépendants", ça sert à rien de parler de convergence en loi... (c'est pas faute d'avoir essayé)

Concernant

Ce qui est une conséquence du théorème central limite (en fait, c'est surtout la loi des grands nombres qui dit ça, mais ici ça importe peu), ce n'est PAS "lors d'une série de tirages aléatoires, la moyenne arithmétique est des résultats est la valeur la plus probable", c'est "lors d'une série de N tirages aléatoires INDÉPENDANTS ET SUIVANT LA MÊME LOI DE PROBABILITÉ, qui portent sur des nombres réels, avec N suffisamment grand, la valeur la plus probable de LA MOYENNE DES RÉSULTATS DES N TIRAGES est l'espérance de la loi de probabilité en question".

Les passages que j'ai mis en gras majuscule ne sont pas là pour décorer, ils sont absolument fondamentaux, et ils font que ça ne dit pas du tout la même chose que ton postulat de la moyenne. Cette deuxième phrase entre guillemets ne dit pas non plus que "la répartition des écarts à la moyenne suit une loi normale", elle dit que "la répartition des écarts de la moyenne arithmétique des résultats des tirages à l'espérance de loi suit une loi qui ressemble à une loi normale".

C'est une affirmation de ta part, le texte d'origine serait bien venu.

Le texte d'origine est l'énoncé du TCL, disponible entre autres dans tous les cours basiques de proba continues et sur Wikipedia. Je peux le réécrire une 15ème fois si ça t'amuse :

Soit une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace de probabilité, indépendantes et identiquement distribuées selon une loi admettant une espérance finie et un écart type fini non nul . La variable aléatoire converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

ce n'est pas l'écart entre le résultat du n-ième tirage et l'espérance de la loi qui régit les tirages (sinon on aurait défini à un facteur près), c'est l'écart entre la moyenne arithmétique des résultats des premiers tirages et l'espérance de la loi qui régit les tirages, à un facteur près.

[Sylviel]

Quelques réactions à chaud :

Je confirme que c'est bien dommage de ne pas lire ce qu'a écrit Skullkid : c'est entièrement juste.

"l'affirmation" dont tu l'accuses est une vulgarisation du thèorème central limite que tu as cité en entier (mais que tu n'as visiblement toujours pas compris). Enfin dis comme ça c'est toujours faux (exemple : loi de bernouilli de paramètre non rationnel), mais si tu prends un petit intervalle autour de l'espérance alors c'est vrai.

Maintenant je remonte au message d'origine pour marteler des choses déjà dites d'ailleurs :

je n'ai pas parlé, dans ces deux post, de fréquences, mais bien des résultats que l'on voit sur la face de chaque dé. (Skullkid est très clair sur le sujet). Donc si on prends des animaux sur les faces du dé la variable aléatoire n'est pas à valeur dans R, donc pas de TCL...

Le qualificatif "arithmétique" de la moyenne s'adresse a une suite de nombre (on pourrait en caluler la moyenne géométrique, ou harmonique par exemple). Le terme "empirique" signifie que l'on parle de la moyenne calculée sur un certain nombre de tirage selon une certaine loi. Ce qui signifie que la moyenne empirique est une variable aléatoire, et non un réel. Et on peut estimer la loi de cette variable aléatoire, c'est le théorème central limite.

Encore une fois : le TCL parle de la loi de la moyenne empirique, pas de celle d'une réalisation !

Quant à mon histoire de translation c'était en réponse à ton affirmation

"Ce ne sont pas les moyennes qui nous intéresse, mais les écarts à la moyenne."

Je t'expliquais que les moyennes, ou les moyennes des écarts à l'espérance c'est la même chose.

On se sert comme paramètres de la variance ou de l'écart-type indifféremment. La variance a les bonnes pptés mathématiques, l'écart-type s'interprète intuitivement.

Sinon loi gaussienne et loi normale c'est synonyme, il y a bien deux paramètres : l'espérance (qui revient à une translation des axes), et la variance qui revient à un changement d'échelle des absisses.

[Dlzlogic]

@ffpower,
J'ai lu toute la réponse de Skullkid.
A part les points sur lesquels j'ai répondu, il a rappelé le coup du maquillage de la face 6 d'un dé avec la valeur 100. Doraki m'avait déjà fait le coup et j'ai répondu de façon très précise. Je ne pense pas utile de recommencer. A part ça, rien vu de particulier.

Je recopie en totalité le théorème d'après le bouquin de Sylviel. Je ne sais pas écrire des symboles mathématiques, alors, je les traduirais en français.
Soit (Xn, n appartient à N star) une suite de v.a; réelles i.i.d. (indépendantes et de même loi). On suppose qu'elles sont de carré intégrables (E[X² indice n < oo). On pose mu = E[Xn, s² = Var[Xn) et la moyenne empirique [que j'appelle M) X(barre indice n) = 1/n Somme de k=1 à n (Xk). La suite de v.a sqrt(n)(M-mu) = 1/sqrt(n) (Somme de k=1 à n(Xk) - n.mu) converge rn loi vers la loi gaussienne N(0,s²) : [la même formule est répétée dans un encadré].

Voila ce que je comprend, on voudra bien me corriger.
Xn est une suite de variables aléatoires, il y en a une nombre n. Par exemple la position de chaque impacte par rapport au centre de la cible, la taille de poissons lors d'une pêche, le résultat de tirages avec rand(), le nombre de fois qu'est sorti chaque N° au loto.
mu est l'espérance, dans le cas de tirage du loto, mu est égal au nombre de tirages / nombre total de boules. Dans le cas des poissons, c'est 0 (zéro).
Signa (que j'ai noté s) est l'écart-type, c'est la racine carrée de la somme des carrés des différences entre la moyenne et la valeur observée (v.a.).
La moyenne empirique, c'est la moyenne arithmétique. C'est la valeur conforme au "postulat de la moyenne" dont j'ai souvent parlé.
Il est vrai que la suite est moins claire
(M - mu) sont 2 résultats. M la moyenne arithmétique et mu l'espérance. En fait j'ai un doute sur le sens exact de E[Xn]
En tout cas, il est bien précisé qu'il s'agit d'une suite de variables aléatoire, d'une moyenne arithmétique et d'une valeur mu. En aucun cas, il n'est question de plusieurs moyennes. On a une expérience qui produit une suite de variables aléatoires. Si on avait plusieurs expériences, la moyenne de chaque expérience pourrait être prise comme variable aléatoire, toutes groupées en suite, mais ce n'est de cela qu'il s'agit.

Le message Sylviel est arrivé entre temps, je vais le lire tranquillement.

[Dlzlogic]

@ Sylviel,
Manifestement, on ne parle pas de la même chose. si on dessine les villes avec rand() on obtient une distribution uniforme (à peu près) ou non. C'est la seule question dont il s'agit.
Alors quand tu me parles de vulgarisation concernant le théorème central limite, quand tu dis que les probabilités s'appliquent aux valeurs marquées sur le dé et non au nombre de sorties, donc inutilisable dans le cas d'image etc. là j'ai plus rien à dire.
Toute petite précision technique, l'écart-type est exactement la racine carrée de la variance.

Donc, vous avez tous certainement raison concernant une certaine théorie, mais concernant les applications, y'a vraiment des choses à revoir.
Maintenant je comprend pourquoi celui qui demandait comment détecter des erreurs a eu cette réponse assez inattendue : tu prends la moyenne que tu veux (arithmétique, géométrique etc.)

[Skullkid]

Soit (Xn, n appartient à N star) une suite de v.a; réelles i.i.d. (indépendantes et de même loi). On suppose qu'elles sont de carré intégrables (E[X² indice n < oo). On pose mu = E[Xn, s² = Var[Xn) et la moyenne empirique [que j'appelle M) X(barre indice n) = 1/n Somme de k=1 à n (Xk). La suite de v.a sqrt(n)(M-mu) = 1/sqrt(n) (Somme de k=1 à n(Xk) - n.mu) converge rn loi vers la loi gaussienne N(0,s²) : [la même formule est répétée dans un encadré].

Cet énoncé est exact.

Xn est une suite de variables aléatoires, il y en a une nombre n. Par exemple la position de chaque impacte par rapport au centre de la cible, la taille de poissons lors d'une pêche, le résultat de tirages avec rand(), le nombre de fois qu'est sorti chaque N° au loto.

Je préfère préciser les exemples : Xn peut être la distance entre le n-ième impact et le centre de la cible (il faut que ce soit un réel, le terme "position" est ambigu), la taille du n-ième poisson pêché (en supposant que les pêches sont indépendantes, ce qui a priori ne me pose pas de problèmes), le résultat de tirages avec rand() (encore une fois en supposant que les tirages sont indépendants, ce qui n'est vrai qu'en première approximation).

C'est surtout la précision sur le dernier exemple est importante. Si tu considères 1000 tirages successifs au loto à 49 boules (mettons 6 boules par tirage) et que tu notes X1 le nombre de fois que la boule 1 est sortie, X2 le nombre de fois que la boule 2 est sortie, etc, la suite (Xn) ne satisfait pas les hypothèses du TCL. Déjà parce que c'est une suite finie (tu n'auras jamais que 49 variables), mais surtout parce que les variables ne sont pas indépendantes, étant donné qu'elles sont liées par .

De même, si tu appelles Xn le nombre fois que la boule 1 est sortie au cours des n premiers tirages, le TCL ne s'applique pas à la suite (Xn). Là encore parce que les variables ne sont pas indépendantes (sachant que X8 = 3, la probabilité que X9 = 6 est nulle).

Dans ces deux derniers cas, je précise bien que c'est à la suite (Xn) dont j'ai parlé que le TCL ne s'applique pas. Je ne dis pas que le TCL ne s'applique pas au loto.

mu est l'espérance, dans le cas de tirage du loto, mu est égal au nombre de tirages / nombre total de boules. Dans le cas des poissons, c'est 0 (zéro).

Dans le cas des poissons, à moins d'accepter l'existence de poissons à taille négative, une espérance de zéro signifie que tous les poissons font une taille nulle... Quant au loto, une fois encore, tu n'as pas précisé tes variables aléatoires donc c'est flou, on sait pas de quoi tu parles. Ce que je peux te dire c'est que si (Xn) est la suite de variables aléatoires à laquelle tu veux appliquer le TCL, elles doivent suivre la même loi, dont l'espérance ne peut évidemment pas dépendre de n (et ce n désigne usuellement, bien que pas toujours, le nombre de tirages).

Signa (que j'ai noté s) est l'écart-type, c'est la racine carrée de la somme des carrés des différences entre la moyenne et la valeur observée (v.a.).

Non. L'écart type dont parle l'énoncé du TCL c'est l'écart type de la variable aléatoire elle-même, c'est-à-dire l'écart type de la loi qu'elle suit. C'est un réel fixé, ce n'est pas une variable aléatoire. Ce dont tu parles toi c'est l'écart type empirique, c'est-à-dire l'écart type que tu calcules à partir d'une série de réalisations de la variable aléatoire.

Par exemple, je tire au hasard (loi uniforme) un entier entre 0 et 2. La variable aléatoire "l'entier que j'obtiens" a pour espérance 1 et pour écart type 1. Mais si je fais en vrai mettons 10 tirages et que j'obtiens la suite de résultats (1,1,0,2,1,2,0,2,1,1), je peux calculer la moyenne et l'écart type empiriques (observés, si tu préfères), qui sont respectivement, pour ce tirage, 1,1 et 0,7.

(M - mu) sont 2 résultats. M la moyenne arithmétique et mu l'espérance. En fait j'ai un doute sur le sens exact de E[Xn]

Comme dit, M est la moyenne empirique (c'est une variable aléatoire, qui suit une certaine loi) alors que mu est l'espérance commune à toutes les variables aléatoires Xn (c'est un réel, qu'il est possible de calculer sans avoir besoin de faire un tirage, juste en connaissant la loi).

Quant à Sylviel (auprès duquel je m'excuse d'avoir modifié un brin le sens de l'énoncé du TCL en voulant le vulgariser), il n'a jamais dit que les probas s'appliquaient uniquement à ce qui est écrit sur le dé. Ce qu'on te dit c'est que le théorème central limite s'applique à des variables aléatoires réelles (pas des vecteurs, pas des images, des réels). Aussi étonnant que ça puisse te sembler, l'étude des proba ne se limite pas au théorème central limite (sinon n'importe qui ayant suivi un cours de licence en proba peut se prétendre probabiliste).

Enfin au moins maintenant tu reconnais que tu ne connais pas si bien la théorie (ça change de tes diatribes sur la rigueur et la Démonstration). Reste à te faire comprendre que c'est cette théorie qui sous-tend les applications que tu as été amené à faire, que lesdites applications sont dans un contexte particulier qui se prête éventuellement à des hypothèses particulières, et que donc elles n'ont aucune raison d'être valables ailleurs.

[Dlzlogic]

Bon, j'ai tout lu, mais tu me fais bien rigoler.
De mémoire, c'est toi qui a répondu à ce membre qui cherchait à isoler des valeurs fausses, qu'il n'avait qu'à choisir la moyenne qui lui plaisait le plus.
La théorie, c'est vachement bien quand c'est le moyen de se justifier, mais quand elle s'avère tellement limitée et donc inutile parce qu'elle est inapplicable, il vaut mieux rester silencieux dans son coin.
Je suis un peu lent, alors j'ai mis du temps à comprendre tes motivations.
En tout cas, je l'ai dit, on n'a pas les mêmes objectifs, on ne parle pas le même langage, donc, je n'ai plus rien à dire.
Un dernier mot, te concernant j'hésite entre l'incompétence et la mauvaise foi. Vu qu'on m'a accusé des deux, je suis sympa, pour toi, ce sera un choix exclusif.

[ffpower]

Ok! Skullkid fait des effort pour essayer de te faire comprendre des trucs de manière pédagogique, et voilà donc ta réaction...On rejette tout en bloc et on devient insultant. Bon bah tant pis, j'avais l'impression qu'il y avait du progrès mais j'ai du me tromper..Bah ça s'arrêtera là pour moi alors. Si tes pseudos acquis te suffisent soit, mais retiens toi de troller les topics de proba à l'avenir avec tes théories à 2 sous..

[Sylviel]

Oui c'est sûr, cette théorie est complètement éloignée des applications. Avec on ne fait que :
- des statistiques
- de l'optimisation de système
- de la physique statistique
- des méthodes de Monte Carlo
...

Et les applications elle-même :
- calcul de résistance d'une centrale nucléaire
- gestion des barrages par EDF
- Calcul de prix d'options en finance
- Modélisation de l'évolution des espèces
- Astronomie
- Astrophysique
- Physique des hautes énergies (comment déterminer les divers paramètres des particules élémentaires)...
...

P.S : Skullkid est parfaitement juste dans ses explications.
P.P.S : ce que tu utilise découle de cette construction théorique des probas. Mais faut apprendre à marcher avant de courir (ie de comprendre les raisons de tes méthodes).