Loi uniforme (again)

[Dlzlogic]

Je doute qu'un calcul symbolique exact soit possible.

C'est aussi mon avis.
Mais une simulation n'est pas facile non plus,
1- il y 3 variables aléatoires (R, M1 et M2),
2- La position de R (aléatoire) implique une "zone valide", d'où un calcul pour chaque R choisi,
3- M1 et M2 ne sont à prendre que dans la "zone valide". M appartient au cercle R et n'appartient pas aux cercles S et D : 3 racines carrées pour chaque point M C'est même plus compliqué que ça.

Par curiosité, est-ce un exercice pédagogique, ou une question "pour le plaisir", ou une question relative à un problème réel ?

(A ma connaissance, un tirage uniforme dans un carré ne peur être fait qu'avec un maillage).

[Sylviel]

Non Doraki a expliqué les bases de la méthodes dite "du rejet" pour simuler une loi uniforme sur un domaine bizarre qui est parfaitement applicable ici :
- on tire les points uniformément sur un domaine simple
- on regarde si les conditions de validité sont vérifiées si oui : on conserve le tirage, sinon on le jette.

Pour tirer un point de manière uniforme sur le carré [0,1]² il s'uffit de tirer deux uniforme sur [0,1] (une pour chaque coordonnées). Un maillage ne donneras absolument pas une loi uniforme.

[Dlzlogic]

Non Doraki a expliqué les bases de la méthodes dite "du rejet" pour simuler une loi uniforme sur un domaine bizarre qui est parfaitement applicable ici :
- on tire les points uniformément sur un domaine simple
- on regarde si les conditions de validité sont vérifiées si oui : on conserve le tirage, sinon on le jette.

Pour tirer un point de manière uniforme sur le carré [0,1]² il s'uffit de tirer deux uniforme sur [0,1] (une pour chaque coordonnées). Un maillage ne donneras absolument pas une loi uniforme.

Le "Non" fait référence à ma dernière phrase entre parenthèse. A part un maillage, je ne sais pas comment on peut obtenir un tirage uniforme. S'il y en a une, je suis preneur. Ce sujet a déjà été évoqué et je ne me souviens pas qu'il y ait eu une réponse. De mémoire, la solution proposée par Fatal_erreur ne donnait pas un tirage uniforme.

[Sylviel]

On t'avais donné une réponse, et je viens de t'en redonner une :

Pour tirer un point de manière uniforme sur le carré [0,1]² il s'uffit de tirer deux uniforme sur [0,1] (une pour chaque coordonnées).

Pour être entièrement explicite, si tu appeles Un tes tirages indépendants selon une loi uniforme sur [0,1], alors {(U2k, U2k+1)} sera une suite de points tirés uniformément (et indépendemment) sur [0,1]²

Et j'ajoute : un maillage n'a rien d'une loi uniforme ! Il suffit que tu prennes une surface d'aire non nulle, qui ne contient aucun points de ton maillage, pour voir qu'elle aura une proba nulle et une aire non nulle... problème non ?

[Dlzlogic]

On t'avais donné une réponse, et je viens de t'en redonner une :



Pour être entièrement explicite, si tu appeles Un tes tirages indépendants selon une loi uniforme sur [0,1], alors {(U2k, U2k+1)} sera une suite de points tirés uniformément (et indépendemment) sur [0,1]²

Et j'ajoute : un maillage n'a rien d'une loi uniforme ! Il suffit que tu prennes une surface d'aire non nulle, qui ne contient aucun points de ton maillage, pour voir qu'elle aura une proba nulle et une aire non nulle... problème non ?

Comment fait-on, dans la pratique, pour simuler, en informatique, une loi (très) uniforme ? Là est ma question.

[Sylviel]

Une loi uniforme sur [0,1] ? C'est ce que te renvoie une fonction rand() de base.

Après de toute manière on est en informatique, donc à précision limitée, donc pas d'univers continu, et on ne peut générer de l'aléatoire mais seulement du pseudo-aléatoire, etc... Mais ces considérations n'interviennent que très rarement.

[Dlzlogic]

Une loi uniforme sur [0,1] ? C'est ce que te renvoie une fonction rand() de base.

Après de toute manière on est en informatique, donc à précision limitée, donc pas d'univers continu, et on ne peut générer de l'aléatoire mais seulement du pseudo-aléatoire, etc... Mais ces considérations n'interviennent que très rarement.

On a déjà vu que la fonction rand() et a fortiori la fonction "SUPER_RAND" donnait une distribution conforme à la loi normale. Mais je peux refaire des simulations, si on veut.
Par ailleurs, ce point (... de détail ...) est hors-sujet. Il ne s'agit pas de la question posée.

Si la question posées est un exercice, il est probable qu'il y a une solution.
Ce qui me parait le plus difficile est de trouver une relation entre la position aléatoire de R et la forme du croissant. Dans tous les cas, je pense que ça ne peut se résoudre qu'avec des calculs d'aire, difficiles dans le cas précis.

[Mathusalem]

On a déjà vu que la fonction rand() et a fortiori la fonction "SUPER_RAND" donnait une distribution conforme à la loi normale.

Non. Tu peux te documenter sur la fonction rand().

[Dlzlogic]

Non. Tu peux te documenter sur la fonction rand().

Essayons d'avoir l'esprit scientifique : fais des simulations, par exemples avec 50 boules, comptabilise le nombre de sorties de chaque numéro et je te montrerai que la répartition est celle de la loi normale.
Mélange dans tes résultats des essais "trafiqués", je trouverai lesquels. Il est bien évident que si tu refuses le test c'est que tu es d'accord avec ce que je dis, que j'explique avec des sources et que je démontre par des simulations. Et ce sujet sera enfin éclairci.

Concernant rand(), oui, je me suis documenté, j'ai fait des essais, et aussi avec "SUPER_RAND". En gros l'écart des résultats avec rand() est de 2 ou 3% par rapport à la loi normale, alors que l'écart en utilisant SUPER_RAND est insensible. Voir à ce sujet les essais faits par Le_Jeu.

[Sylviel]

J'ai scindé la discussion pour éviter de polluer.

Dlzlogic, commence par lire une définition de ce qu'est la loi normale et de ce qu'est une loi uniforme. La "question" de quel type de loi génère rand() n'est une question que pour toi.

[Mathusalem]

Il est bien évident que si tu refuses le test c'est que tu es d'accord avec ce que je dis

Je sais même pas par où commencer si je dois éviter les insultes..

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Puisqu'on est dans la simulation. 10^6 lancés d'un dé à 100 faces (pour fixer les idées). Pour cela je simule deux lois - uniformes et gaussienne, dont j'ordonne les résultats sur l'intervalle [0,1] divisé en 100 morceaux.

Cas bleu : Loi uniforme, équiprobabilité d'apparition des faces [code: rand()]
Cas vert : Loi normale N(0.5,0.1). En gros la distribution est centrée sur la face n.50 [code : normrnd(0.5,0.1)]. J'avais pas envie de retapper le code qui passait de rand() à la normale alors j'ai utilisé la bibliothèque Matlab.



Alors là je t'attends pour m'expliquer que les deux distributions sont gaussiennes. Je peux uploader le code matlab si tu veux.

[Doraki]

T'es sûr que t'as pas fait 10^5 lancers plutôt ?

[Mathusalem]

L'ordi prenait trop de temps et j'ai arrêté la boucle. En effet j'ai interrompu la boucle pas loin de 10^5 lancers - j'ai quand même créé le plot puisqu'il était suffisamment bon. J'aurais dû préciser.

[fatal_error]

je up pour avoir un retour de Dlzlogic suite au poste 00h02 de Mathusalem, dès fois qu'il ne l'aurait pas lu/vu

[beagle]

Oui, avec de beaux dessins on comprend mieux.
On peut aussi mieux expliquer.

Là Mathusalem a mis le nombre d'apparition,
pour des raisons pédagogiques je préfère avec les fréquences observées.

Pour la loi normale,
nous aurons toujours les faces fréquentes autour de 50, ce sera toujours ces faces là, ces mèmes numéros qui seront en fréquence élevée, et les extrèmes bas et haut de numéros de face de dés auront toujours des fréquences faibles d'apparition.
De plus la forme de la courbe de Gauss sera toujours identiques surtout dès que n élevé, il y a bien les minimes variations autour de la fréquence théorique, mais ce sera toujours la mème Gauss.

Pour la loi uniforme,
certes Dlzlogic va nous dire, je sais redisposer les numéros de face selon leur fréquence,
je vais avoir très peu de numéros de face de dés avec fréquence basse, très peu avec fréquence haute, et je vais avoir beaucoup de face autour de la fréquence théorique.
Oui, mais selon les tirages, selon le nombre n de tirages,
on n'aura jamais les mèmes numéros de face aux extrémités ou au centre vers la moyenne.
en augmentant n la courbe de Gauss va devenir de plus en plus efilée car en augmentant n l'écart-type va diminuer, car toutes les fréquences sont en route vers la mème valeur unique de la fréquence théorique.

Comme expliqué précédemment, la loi de proba c'est le départ, la loi qui impose la proba de base.
ce que Dlzlogic regarde avec Gauss ce sont les variations, la dispersion observable des fréquences observées autour de la valeur théorique après n tirages.
Dlzlogic s'intéresse aux zig-zag des résulats à n par rapport à la belle courbe théorique,
mais les zig-zag autour de courbe loi uniforme, ou autour d'une gauss,
ne sont pas les courbes de gauss des lois de proba ...

Il faut sauver le soldat Dlzlogic,
allez dis-nous que tu vois une différence ...

[Sylviel]

Beagle, je ne suis malheureusement pas certains que ce soit ce que Dlzlogic pense (d'ailleurs j'ai parfois du mal à suivre ton raisonnement...) : il m'a encore réaffirmé que tous les aléas doivent suivre la loi de gauss (que ce soit les erreurs de tir d'un canon, ou les gains à pile ou face)...

[Skullkid]

Dlzlogic a d'ailleurs plusieurs fois affirmé des choses du genre "la connaissance de la moyenne et de l'écart-type d'une distribution suffit à déterminer entièrement la distribution"...

beagle a raison d'essayer d'insister sur une des premières erreurs de fond que commet Dlzlogic, à savoir confondre "loi des résultats d'un tirage" et "loi de la fréquence d'apparition des résultats d'un tirage". Mais cette erreur a été pointée à de très nombreuses reprises par tous les intervenants ou presque, et à chaque fois Dlzlogic a ignoré ou répondu de façon absurde. Pour Dlzlogic, la phrase "le tirage est conforme à la loi normale" signifie "si je fais N séries de M tirages, que je note la fréquence d'apparition d'un résultat donné dans chacune des N séries et que je calcule la moyenne et l'écart type empiriques de cette distribution de fréquences, alors environ 68% des résultats diffèreront de la fréquence moyenne d'au plus un écart type, environ 95% d'au plus deux écarts type et environ 99% d'au plus trois écarts type" (ou formulation équivalente avec son écart probable qui est atrocement mal nommé). Tant qu'il n'aura pas compris pourquoi les deux phrases entre guillemets ne veulent pas du tout dire la même chose - et jusqu'à présent il a activement évité de chercher à comprendre pourquoi - ça ne sert à rien de discuter.

La seule chose qu'il accepte comme démonstration c'est un dénombrement du nombre de séries qui rentrent dans chacune de ses classes "à un écart type près", "à deux écarts type près" et compagnie ; évidemment ce dénombrement le confortera toujours dans son erreur à cause du théorème central limite qui dit que c'est quasiment tout le temps comme ça. D'ailleurs, Dlzlogic ne s'est jamais donné la peine d'essayer de comprendre ce théorème, puisqu'il lui préfère son fameux "postulat/théorème de la moyenne" qui, tel que Dlzlogic le cite, n'a rien d'une proposition scientifique : ce n'est qu'une affirmation de but en blanc, floue et sans hypothèses précises. Et je ne parle même pas du fait que tous les mots qui ont un sens précis en maths ont complètement un autre sens (souvent imprécis et variable, qui plus est) en Dlzlogicien... Du genre "valeur la plus probable" signifie "valeur qui minimise la somme des carrés des écarts" et est équivalent à "moyenne", ou "aléatoire" qui signifie "conforme à la loi normale", "loi normale" étant défini comme "loi qui régit toute expérience aléatoire". Quand on se trompe sur tellement de fronts en même temps, il est impossible de s'en sortir sans un minimum humilité, qualité dont Dlzlogic est visiblement entièrement dépourvu.

[beagle]

Beagle, je ne suis malheureusement pas certains que ce soit ce que Dlzlogic pense (d'ailleurs j'ai parfois du mal à suivre ton raisonnement...) : il m'a encore réaffirmé que tous les aléas doivent suivre la loi de gauss (que ce soit les erreurs de tir d'un canon, ou les gains à pile ou face)...

Bonjour Sylvie,
mon bagage théorique est léger, donc mon raisonnement peut ètre diffcile à suivre parce que faux, ou parce que je n'emploie pas les bons termes (d'où ma mansuétude envers Dlzlogic).
j'ai peut-ètre un avantage sur toi Sylvie, c'est que je sais à quoi joue Dlzlogic depuis le début des histoires de retard, je crois savoir ce qu'il regarde quand il voit du Gauss.

Prenons une loi uniforme, comme Mathusalem, 100 évènements numérotés 1 à 100, de proba 1%.
On fait 1000 tirages, et là Dlzlogic (ré)organise les évènements selon la fréquence observée et il dit,
cela obéit à Gauss,
car j'ai 2/3 de mes fréquences observées entre 1% et un écart-type de chaque coté de 1%,
j'ai 95% de mes fréquences observées entre 1% et deux écart-types, ...
ce que regarde Dlzlogic , c'est cette répartition.
Donc il regarde la loi de probabilité des fréquences observées après n tirages.
Et c'est gaussien, ou cela s'aproxime par Gauss comme la loi binomiale peut s'approximer par Gauss.

Simplement cela n'est pas laloi de proba des évènements 1, 34,78,...
D'ailleurs c'est l'intérèt des courbes de Mathusalem de réfléchir sur du visuel, de l'exemple.
Lorsque Dlzlogic retrouve du Gauss,
il trouve par exemple que le 23 est à 0,97 très faible au-delà de deux écart-types, le 56 est très élevé à 1,04
on voit bien que ce n'est pas la loi de proba de ces évènements qui gaussienne les a précipités aux extrèmes,
car sur 1000 autres tirages le 23 et le 56 seront à des endroits très différents de la courbe de distribution des fréquences observées.
De mème en augmentant n on changera leur position dans la courbe également.

Ceci est vraiment très différent de la loi de proba des 100 évènements qui suivent la courbe de Gauss de Mathusalem,
certes aux extrémités on aura selon les tirages
du 3,5,1,2
du 97,99,96,100
mais les fréquences basses resteront basses
les fréquences des évènements autour de 50 seront toujours distribuées autour très près de la moyenne.

PS: j'ai écrit en mème temps que skullkid, il me semble ètre d'accord avec lui = comprendre le Dlzlogic de la mème façon.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Effectivement je viens de découvrir qu'un autre fil avait été crée, je viens de tout lire.
Il est dommage que les réponses concernant les intersections de cercle ait été déplacées, puisqu'elle ne concernaient en rien les probabilité, sauf naturellement que une probabilité est le rapport des cas favorable sur le total des cas, mais il me semble qu'étant donné le niveau, cette notion n'a pas besoin d'être rappelée.

J'ai lu soigneusement le cours dont Sylviel m'a donné le lien par MP.
Je cite (Théorème V.29) (Théorème central limite). Soit Xn une suite de v.a. réelles indépendantes et de même loi. On suppose qu'elles sont de carré intégrable(E[X²]<oo). On pose mu = E[Xn], s² = Var(Xn) et la moyenne empirique M = 1/n Somme(Xk). La suite de v.a. sqrt(n)(M-mu = Somme(Xk - n.mu / sqrt(n) converge vers la loi Gaussienne N(0,s²)

J'ai appelé M la moyenne empirique. C'est à dire la moyenne arithmétique. 's' est l'écart-type noté sigma.

Dans le cas qui nous intéresse, les variables sont de variables aléatoires, donc équiprobable, c'est ce qu'on appelle une loi uniforme.

Je me permettrai de rappeler une petite anecdote.
Lors d'une réunion de parents d'élèves, il s'est trouvé que j'ai raconté au professeur de mathématique que j'utilisais une propriété intéressante de la parabole. Il ne la connaissait pas (20 ans d'enseignement :doh: ). Mais lui, n'a ps dit "C'est pas vrai", il a pris un bout de papier, 2 ou 3 calculs et voila.

@ Mathusalem,

Je sais même pas par où commencer si je dois éviter les insultes..

Je pense que contrairement à d'autres on ne pas me reprocher le moindre manque de politesse ou le moindre manque du respect d'autrui.

La simulation que je propose est simple.
On fait un tirage aléatoire par exemple avec 50 boules. Pour chacune de ces boules on comptabilise le nombre de sorties. On aura donc ainsi une série de 50 nombres de tirages. Le rang de ces nombres pourront être les numéros marqués sur les boules, en chiffres arabe, en chiffres romains, ou en binaire, ou en chinois, il faut une liste de 50 nombres de sorties.
On pourra répéter l'expérience plusieurs fois, et surtout y introduire une ou des listes "truquées".
J'ai besoin de chiffres parce que sinon, je ne peux faire aucun calcul, tel que le théorème de central limite les faits. Concernant les graphiques et histogrammes, le cours auquel j'ai fait allusion en présente quelques-uns, pour expliquer une argumentation, et non prouver qu'ils ont raison.

@ Fatal_error,
Cette problématique de répartition uniforme a déjà été évoquée. Je me souviens avoir dit que c'est pas évident, et d'ailleurs, de mémoire, Sylviel avait confirmé. C'était il n'y a pas très longtemps, mais je ne souviens plus où.

Enfin dans ce cours de Sylviel il y a des trucs intéressant, comme par exemple le paragraphe sur la justification de le méthode des moindres carrés, d'où on déduit que les écarts accidentels se combinent quadratiquement etc.

[Sylviel]

Mais depuis le tout début on te dis que ce que tu utilises c'est le théorème centrale limite, qui te dis que la moyenne d'un tirage aléatoire converge vers une loi normale. On ne l'a jamais contesté, et on a jamais dis qu'il était faux. Le problème c'est que tu veux "l'utiliser" pour un tirage (quel quantité d'eau tombera demain, quel sera la demande d'électricité, les gains pour un ticket de loto...), et pas pour une moyenne et t'en servir pour dire que le tirage est "gaussien".
C'est cette différence qu'on essaie de te faire comprendre...

Le tirage en lui-même (et non la moyenne de n tirage indépendant de même loi) peut avoir divers type de lois :
- uniforme
- gaussienne
- exponentielle
- Gamma
- ...
Quelques exemples sont d'ailleurs présentés dans le livre.

J'ajouterais, mais c'est anecdotique, que le TCL ne fonctionne que pour les v.a tel que Ex² <+oo. Et en particulier on ne peut pas l'appliquer à une loi de Cauchy...

Sinon

les variables sont de variables aléatoires, donc équiprobable

est une affirmation fausse. On peut avoir un dé pipé, les résultats ne seront pas équiprobables, mais resterons aléatoires...

P.S : mea culpa pour le premier post, la sission se fait un peu à l'aveugle et je me suis raté sur celui-là.