Volume d'une ellipsoide

[Cryptocatron-11]

Pour décrire une fois la sphère, il suffit de faire varier theta de 0 à pi

Mouais ...

Voilà ce que j'ai refais :



Et on sait que

On a donc

je me suis quand même permis de poser ai je bien le droit ??

Bonjour,
Ce qui est plus amusant à calculer, c'est la longueur d'un arc d'ellipse.

Pense tu vraiment que ça m'amuse de faire ça et de surcroît le jour de mon anniversaire LOL .

[Dlzlogic]

@Criptocatron,
Une ellipsoïde est une affinité de la sphère. Ca n'est pas à démontrer.
Par contre je ne sais pas si le simple changement de variable entraine V=4/3 PI a.b.c Mais là je ne suis pas compétent.

Ma proposition de calcul de longueur d'arc ne t'était naturellement pas destinée.

[Cryptocatron-11]

@Criptocatron,
Une ellipsoïde est une affinité de la sphère. Ca n'est pas à démontrer.
Par contre je ne sais pas si le simple changement de variable entraine V=4/3 PI a.b.c Mais là je ne suis pas compétent.

En relisant mes calculs ça à l'air de marcher =)

Ma proposition de calcul de longueur d'arc ne t'était naturellement pas destinée.

OK :lol3:
Calculer des longueurs d'arcs c'est moins casse pied déja. si seulement on pouvait tomber que sur ça en partiel .... ^^

[Maxmau]

Mouais ...

Voilà ce que j'ai refais :



Et on sait que

On a donc

je me suis quand même permis de poser ai je bien le droit ??

Comme tu dédaignes ma remarque, ton calcul (si tu le menais sans erreur(*)) conduirait à 2 fois le volume de la sphère.
(*) Intégrale de 0 à pi de sinxdx vaut 2 (si je ne m'abuse)

[Dlzlogic]

OK
Calculer des longueurs d'arcs c'est moins casse pied déja. si seulement on pouvait tomber que sur ça en partiel .... ^^

A tes moments perdus, essaye donc, et tu me raconteras.

[Cryptocatron-11]

Comme tu dédaignes ma remarque, ton calcul (si tu le menais sans erreur(*)) conduirait à 2 fois le volume de la sphère.
(*) Intégrale de 0 à pi de sinxdx vaut 2 (si je ne m'abuse)

"Mouais" dans le sens " hmm j'ai cru avoir compris" et pas " mouais ton truc c'est naze "

Mais en fait géométriquement j'ai tjrs pas compris pourquoi on doit prendre 0 à

Si tu pouvais me l'expliquer géométriquement ça serait cool

[Mathusalem]

"Mouais" dans le sens " hmm j'ai cru avoir compris" et pas " mouais ton truc c'est naze "

Mais en fait géométriquement j'ai tjrs pas compris pourquoi on doit prendre 0 à

Si tu pouvais me l'expliquer géométriquement ça serait cool

[url]http://fr.wikipedia.org/wiki/Intégrale_multiple[/url]

Je te laisse lire la remarque sur le changement de variable et particulièrement la condition sur le jacobien, et là tu verras que c'est pas bien de faire varier theta entre 0 et 2;).

Pour ce qu'il en est de la géométrie, imagine toi un anneau, dont les bords sont capables de laisser une trace dans l'air ambiant. Est-ce que pour dessiner ainsi une sphère, il te fait tourner l'anneau sur soi-même d'un demi-tour ou d'un tour entier ?
En l'occurence, ça va être d'un demi tour. L'anneau, tu le fais grâce à la variable azimuthale phi. Elle tourne de 0 à 2pi et crée un anneau. Ensuite, tu fais tourner cet anneau sur son axe d'un demi-tour grâce à théta.
Alors tu pourrais te dire, oui mais je pourrais faire varier theta de 0 a 2pi et ensuite phi de 0 à pi, mais non ça marche pas à cause de ce que tu as lu sur wikipédia.

[Maxmau]

"Mouais" dans le sens " hmm j'ai cru avoir compris" et pas " mouais ton truc c'est naze "

Mais en fait géométriquement j'ai tjrs pas compris pourquoi on doit prendre 0 à

Si tu pouvais me l'expliquer géométriquement ça serait cool

je raisonne toujours avec la sphère (c'est si simple de s'y ramener)

Le demi-plan limité par (z'z) et d'angle polaire phi coupe la sphère suivant une demi-cercle.
Lorsque phi varie de 0 à 2pi ce demi-cercle engendre la sphère. et pour positionner un point de ce demi-cercle il suffit de se fixer theta entre 0 et pi. donc pour décrire toute la sphère il suffit que
phi entre 0 et 2pi, theta entre 0 et pi, rho entre 0 et 1

c'est la même chose avec ton ellipsoide

[Cryptocatron-11]

Ah ouai là je comprend mieux comme ça.

Vous utilisez l'anneau

mais on peut aussi imaginer que de 0 à R et de 0 à engendre un demi disque. Ensuite si on fait tourner ce demi disque de 0 à (comme on fait tourner le bouton du son de sa chaine stéréo pour mettre plus fort) , on engendre une sphère. On peut aussi le voir de cette manière la aussi non ?

[Mathusalem]

Ah ouai là je comprend mieux comme ça.

Vous utilisez l'anneau

mais on peut aussi imaginer que de 0 à R et de 0 à engendre un demi disque. Ensuite si on fait tourner ce demi disque de 0 à (comme on fait tourner le bouton du son de sa chaine stéréo pour mettre plus fort) , on engendre une sphère. On peut aussi le voir de cette manière la aussi non ?

Oui, mais il est important de se poser la question de pourquoi ça ne marche pas de créer un demi-disque avec rho et phi.

[Cryptocatron-11]

Oui, mais il est important de se poser la question de pourquoi ça ne marche pas de créer un demi-disque avec rho et phi.

bah et sont deux angles différents par rapport à

En tout cas un grand merci à vous ! Vous m'avez bcp aidé :lol3:

[Mathusalem]

bah et sont deux angles différents par rapport à

Non c'est pas ça la raison.

Il y a une raison pourquoi c'est theta qu'on integre de 0 à pi et pas phi.

[Cryptocatron-11]

Non c'est pas ça la raison.

Il y a une raison pourquoi c'est theta qu'on integre de 0 à pi et pas phi.

sur le lien que tu m'a donné j'ai pas vu pourquoi :triste:

Peux tu m'expliquer ? :hein: ça m’intéresserai de savoir pourquoi

j'ai juste lu que " Notons que les points appartenant à l'axe z n'ont pas de détermination unique dans ce système, donc ne peut varier que de 0 à \pi . "
Mais je comprend pas pourquoi il parle au lieu de

[barbu23]

Bonsoir : :happy3:

C'est simple à comprendre : :happy3:

Généralement, on intègre un élément de volume qui est sous la forme : . En coordonnées sphériques, cela revient à intégrer un élément de volume sous la forme . ( intégrer sur une boule, en coordonnées cartésiennes, veut dire, parcourir tous les points de la boule ,en langage courant :zen: )

Cela se fait en étapes :

D'abord, on intégre par rapport à , on parcourt ( intégre ) tous les points d'un cercle parallèle au plan , c'est à dire, fait un tour complet d'angle : sur le cercle, c'est à dire fait un tour de à pour parcourir ( intégrer ) tous les points du cercle ...

Ensuite, on integre par rapport à pour parcourir tous les cercles possibles, parallèles au plan , et pour parcourir tous les cercles possibles, on va du pôle sud vers le pôle nord, c'est à dire fait un demi tour ( on parcours un demi - cercle ), allant du pôle sud vers le pôle nord , c'est à dire on parcours un angle qui mesure .

Jusqu'ici, on a intégré globalement, par rapport à et par rapport à , c'est à dire, on a integré, en somme, un élément de surface , et donc, on a parcouru toute une sphère ( on a parcouru tous les points d'une sphère ).

Il reste maintenant à parcourir tous les sphères parallèles d'origines de rayon , qui composent la boule d'origine et de rayon , pour cela, on intègre par rapport à , c'est à dire, va de à . Ce qui fait finalement qu'on a parcouru tous les points de la boule unité, c'est à dire, on a parcouru ( intégré ) un élément de volume sur .

J'espère que c'est claire. :happy3:

[Cryptocatron-11]

Re bonjour Barbu23,

L'explication c'est surtout que la fonction cosinus est paire si tu vois ce que je veux dire. cos()=cos(-) .
Donc \theta ne peut varier que de 0 à \pi . Sinon y'aura deux points qui auront les mêmes coordonnées.

Je comprenais pas le lien wikipédia filé par mathusalem car sur son lien, ils utilisent à la place de et à la place de .mais étant donné que dans mon exo , on a inversé les variables ...

Ce que je trouve très chiant c'est que y'en a qui utilise \phi à la place de \theta et inversement. Du coup ça fait une confusion pour tout le monde. Ils devraient mettre une convention !

Merci pour ton explication très claire même si j'avais déjà compris :lol3:

[barbu23]

Salut Crypton : :happy3:
Sur le lien de Mathusalem, on a juste changé de notations, on a remplacé par , et par , et dans ce cas , on integre par rapport à l'élément de volume : , et donc, rien ne change, on peut choisir aussi d'autres notations si tu veux : ( et dans ce cas , on integre par rapport à l'élément de volume : ), ou bien ( et dans ce cas , on integre par rapport à l'élément de volume : ) , au lieu de .

[Cryptocatron-11]

Sur le lien de Mathusalem, on a juste changé de notations, on a remplacé par , et par , et dans ce cas , on integre par rapport à l'élément de volume : , et donc, rien ne change

C'est ce que j'ai dis non ?

j'ai aussi rajouté le fait que la fonction cosinus soit paire joue un rôle crucial aussi , t'es pas d'accord ?

[barbu23]

Pour ce qui est de la fonction , je ne sais pas, je t'ai expliqué comment on m'a enseigné la manière d’intégrer en coordonnées sphériques ... On ne m'a jamais parlé du rôle de dans tout ce bazard. :mur: :lol3:

[Cryptocatron-11]

Pour ce qui est de la fonction , je ne sais pas, je t'ai expliqué comment on m'a enseigné la manière d’intégrer en coordonnées sphériques ... On ne m'a jamais parlé du rôle de dans tout ce bazard. :mur: :lol3:

En coordonnées sphérique, on a (x,y,z) --->

On prend un point sur la sphère de rayon 1 tel
Pour
Pour
Pour

On prend un autre point sur la sphère de rayon 1 tel que
Pour
Pour
Pour

On remarque que ces deux points ont pour coordonnées (-0.43,-0.75,0.5)
Donc pas de repérage unique ...

[barbu23]

D'accord, oui , on on parcours une seule fois les cercles, et non pas deux fois, tu as raison. :happy3: