Volume d'une ellipsoïde dégénérée

[Elvander]

Bonjour,

Soit D une matrice diagonale (pas nécessairement positive semi défini), gamma > 0 un paramètre ; Alors j'aimerais calculer
,
avec , la mesure de Lebesgue sur .

Avez vous des idées?

[Skullkid]

Bonsoir, je ne pense pas qu'il existe une formule générale simple, et pour sûr le résultat va dépendre de la "signature" de ta matrice (nombre de valeurs propres strictement positives, strictement négatives et nulles) ainsi que de la position de gamma par rapport aux valeurs propres.

Rien qu'en dimension 2 il faut distinguer pas mal de cas, en appelant V le volume cherché et les valeurs propres de D :

- Si a = b = 0 alors
- Si a < 0 = b alors
- Si alors (sauf erreur...)
- Si alors
- Si alors
- Si alors
- Plein de cas que j'ai pas le courage de calculer !

Les calculs pour lesquels j'ai pas eu le courage sont les intersections "non triviales" de coniques avec le disque unité (i.e. lorsqu'aucune des deux surfaces n'est incluse dans l'autre). Les seuls cas "simples" que je vois sont :

- Si D a des valeurs propres strictement négatives mais aucune strictement positive alors V = 0
- Si toutes les valeurs propres sont positives et que gamma leur est supérieur (à toutes) alors V = V0 le volume de la boule unité
- Si toutes les valeurs propres sont strictement positives et que gamma leur est inférieur (à toutes) alors on retrouve un ellipsoïde et

Sinon dans le cas général ça m'a l'air coton... Dès qu'il y a des valeurs propres non nulles et de signe opposé, le domaine prend une forme compliquée même quand gamma est "très grand" ou "très petit" et ça sent la profusion d'arcsin, argsh et consorts...