Volume d'une ellipsoide

[Cryptocatron-11]

Bonsouère !

Soit une ellipsoide d'équation avec a , b et c positif.

Il faut que je calcule son volume V

j'ai pensé à faire

Mais ça me fait peur tout ces calculs . Connaitriez vous une autre technique ? Celle la est elle bonne ?

[barbu23]

Oui. C'est la seule qui existe à mon avis. :happy3:

[Cryptocatron-11]

T'es sur ?

Car en fait sur mon cahier, notre prof a pas corriger l'exo mais il est passé par les coordonnées sphériques. il a posé y/b = .... et

Donc ?

Moi j'ai pas la correction donc c'est pour ça ...

Parce que les calculs en coord cartésiens ça le fait pas lol t'as vu ce shmimblik ! a mon avis en sphérique ça doit se faire non ?

[Maxmau]

Bonsouère !

Soit une ellipsoide d'équation avec a , b et c positif.

Il faut que je calcule son volume V

j'ai pensé à faire

Mais ça me fait peur tout ces calculs . Connaitriez vous une autre technique ? Celle la est elle bonne ?

Bj
Fais le changement de variables affine: X = x/a , Y = y/b , Z = z/b
tu te ramènes ainsi au volume de la sphère

[Cryptocatron-11]

Bj
Fais le changement de variables affine: X = x/a , Y = y/b , Z = z/b
tu te ramènes ainsi au volume de la sphère

Ouai mais du coup je garde mon intégrale mais en passant juste en coord sphérique ?

Ou alors on fait juste une triple intégrale avec les coord sphérique sans oublier le jacobien ?

[barbu23]

Ah oui c'est vrai, j'ai pas pensé à cette méthode ... C'est même la plus élégante et la plus simple ... :zen:

[Mathusalem]

Ouai mais du coup je garde mon intégrale mais en passant juste en coord sphérique ?

Ou alors on fait juste une triple intégrale avec les coord sphérique sans oublier le jacobien ?

Une fois ton changement affine fait, tu peux passer en sphérique oui.

[Cryptocatron-11]

Une fois ton changement affine fait, tu peux passer en sphérique oui.

Est ce qu'on est obligé de passer en sphérique ? car apparement une fois avoir posé X=x/a Y=... Z=z/c bah y'en a qui disent que c'est inutile de passer en sphérique car ça suffit pour se ramener à une sphère.
C'est vrai ?

[Mathusalem]

Est ce qu'on est obligé de passer en sphérique ? car apparement une fois avoir posé X=x/a Y=... Z=z/c bah y'en a qui disent que c'est inutile de passer en sphérique car ça suffit pour se ramener à une sphère.
C'est vrai ?

Une fois que t'as fait le changement affine, tu considères le problème d'intégrer le volume de la sphère là de rayon 1 en l'occurence.

C'est bien joli de t'être ramenè à une sphère, mais maintenant tu fais comment pour calculer le volume d'une sphère ?

[barbu23]

Si on fait une transformation vers la sphère unité, on obtient :
et on sait que le volume d'une sphère est égale à : si je ne me trompe pas ( sans avoir besoin de faire du calcul, parce que c'est un résultat universel connu par les communs des mortels ) :happy3:
D'où :
Correct ? :hein:

[Cryptocatron-11]

Une fois que t'as fait le changement affine, tu considères le problème d'intégrer le volume de la sphère là de rayon 1 en l'occurence.

C'est bien joli de t'être ramenè à une sphère, mais maintenant tu fais comment pour calculer le volume d'une sphère ?

Je me suis posé la même question que toi et on m'a répondu " c'est du niveau collège ... "

Ce que j'aurai fais c'est calculer la triple intégrale en passant en coordonnées sphériques.

[Cryptocatron-11]

Si on fait une transformation vers la sphère unité, on obtient :

Peut tu être un peu plus explicite . J'ai pas compris comment tu trouves ça

[Mathusalem]

Peut tu être un peu plus explicite . J'ai pas compris comment tu trouves ça

Initialement tu dois faire le calcul

.
aX x , bY y, cZ z.
Ton jacobien est donc
et son déterminant en val absolue abc

Donc

Et là c'est le pas que je critique, mais bon on peut admettre que tu sais que le volume sphère unité est 1. Mais ça fait jamais de mal de le démontrer. Et donc t'arrives avec 4 pi abc

[Cryptocatron-11]

Et là c'est le pas que je critique, mais bon on peut admettre que tu sais que le volume sphère unité est 1.

1 ? C'est pas le volume d'une sphère de rayon 1 ? :lol3:

[barbu23]

Oui :happy3:
Regardez par exemple ici :
http://fr.wikipedia.org/wiki/N-sph%C3%A8re

[Mathusalem]

1 ? C'est pas le volume d'une sphère de rayon 1 ? :lol3:

Effectivement. Moi je redémontre à chaque fois car pas possible de m'en souvenir :zen:

[Maxmau]

à ton niveau le volume de la sphère est supposé connu
mais si ce n'est pas le cas on peut procéder comme suit:

le plan de côte z coupe la sphère x²+y²+z²=1 suivant un cercle de surface S(z)
le volume de la sphère est alors l'intégrale de -1 à 1 de S(z)dz

bien entendu pour calculer S(z) il faut savoir la formule donnant l'aire du cercle

[Cryptocatron-11]

Par contre j'ai quand même cherché en coordonnée sphérique et je me suis rendu compte d'un truc VRAIMENT casse pied !!!

j'ai evidement posé, et
ensuite je trouve pour jacobien . J'ai vérifié le calcul au moins 6 fois !!!

Ensuite j'ai intégré mais on trouve 0 normal car c'est le sin(\theta) qui quand on l'intègre de 0 à donne 0

Par contre si je fais la je trouve

Mais pourquoi ça marche en prenant la moitié de l’ellipsoïde et en le multipliant par deux et ça marche pas quand j'intègre de 0 à 2\pi :mur:

Est ce parce qu'il y a des valeurs absolues et que j'en ai pas tenu compte ??!! :triste:

[Dlzlogic]

Bonjour,
Ce qui est plus amusant à calculer, c'est la longueur d'un arc d'ellipse.

[Maxmau]

Par contre j'ai quand même cherché en coordonnée sphérique et je me suis rendu compte d'un truc VRAIMENT casse pied !!!

j'ai evidement posé, et
ensuite je trouve pour jacobien . J'ai vérifié le calcul au moins 6 fois !!!

Ensuite j'ai intégré mais on trouve 0 normal car c'est le sin(\theta) qui quand on l'intègre de 0 à donne 0

Par contre si je fais la je trouve

Mais pourquoi ça marche en prenant la moitié de l’ellipsoïde et en le multipliant par deux et ça marche pas quand j'intègre de 0 à 2\pi :mur:

Est ce parce qu'il y a des valeurs absolues et que j'en ai pas tenu compte ??!! :triste:

Pour décrire une fois la sphère, il suffit de faire varier theta de 0 à pi