Lien entre limite et continuité

[Cryptocatron-11]

Bonjour,

J'ai lu ça sur un bouquin et je comprend pas cette phrase:
Soit a Df, si la limite de f n'existe pas , alors f n'est pas continue en a.
Car si je prend la fonction sin(x):en , la limite n'existe pas et pourtant elle est continue en
C'est peut être parce que a doit appartenir à R et en ce théorème ne marche pas non ?

[Le_chat]

Ca veut dire quoi être continu en +infini?

[Cryptocatron-11]

Ca veut dire quoi être continu en +infini?

Bah f(x) est continue quand x tend vers l'infini

[Le_chat]

Ca n'a pas trop de sens... On dit rarement qu'une fonction est continue en + infini. Ce que tu veux dire est plutot que sinus est continue au voisinage de l'infini (ie sur un intervalle [a,+infini[)

[Cryptocatron-11]

C'est comme la partie entière en zéro on dit elle n'a pas de limite en zéro mais en fait elle a une limite a droite et une limite à gauche de zéro qui sont toutes les deux différentes.

Mais pour qu'une limite en un point x0 existe il faut
1) que sa lim a droite = sa lim à gauche
2) que ces deux lim existent. Exemple: lim ln(x) quand x tend vers -10 n’existe pas ni à droite ni a gauche.
3) et que la limite de f(x) soit fini quand x tend vers x0. Exemple: si lim f(x)=+ infini alors elle n'éxiste pas

C'est ça ?

Après le lien avec la continuité bah c'est juste dire que la fonction n'est pas prolongeable en x0 dans le cas ou une des trois propositions que j'ai citées ci dessus ne seraient pas vérifiées.

Mais là ou je m'interrogeais c'était dans ma proposition 3 "si lim f(x)=+ infini alors elle n'éxiste pas "
et je me suis rattaché à la fonction sin(x) pour illustrer mes propos

[Skullkid]

D'une manière générale, pour qu'une fonction soit continue en un point, il faut qu'elle soit définie en ce point. Donc tu ne peux pas parler de continuité d'une fonction f en + l'infini à moins de donner un sens à , et pour ça il faut d'abord donner un sens à l'objet .

[Cryptocatron-11]

Oui donc on parle de continuité que sur un point bien précisé ou un intervalle fini

[Skullkid]

Non, la notion de base c'est la continuité en un point. Ce point est nécessairement un point en lequel la fonction est définie. Ensuite, on peut parler de la continuité sur un ensemble : f continue sur E signifie que f est continue en tout point de E. E n'est pas forcément un intervalle, E n'est pas forcément borné (un intervalle fini c'est un singleton, ce dont tu voulais parler ce sont les intervalles bornés), la seule condition nécessaire c'est que E soit inclus dans le domaine de définition de f. Par exemple, la fonction partie entière est continue sur R\N, et R\N ce n'est ni un intervalle, ni un ensemble borné.

Ensuite, pour ton post d'avant :

Mais pour qu'une limite en un point x0 existe il faut
1) que sa lim a droite = sa lim à gauche
2) que ces deux lim existent. Exemple: lim ln(x) quand x tend vers -10 n’existe pas ni à droite ni a gauche.
3) et que la limite de f(x) soit fini quand x tend vers x0. Exemple: si lim f(x)=+ infini alors elle n'éxiste pas

Quand tu dis que la limite à droite est égale à la limite à gauche, ça implique que ces deux limites existent. De plus, si f tend vers l'infini en a, alors sa limite en a existe et vaut + l'infini. Cette limite n'est pas un réel, mais elle existe. Quand on te dit qu'une fonction n'a pas de limite, c'est qu'elle n'a pas de limite

Ce qu'on appelle limite à droite en a c'est la limite quand x tend vers a en étant strictement supérieur à a (même chose pour limite à gauche). Une fonction peut ne pas être continue en a même si elle admet une limite à droite et une limite à gauche en a. Par exemple, si f est la fonction nulle sur R* et qui vaut 1 en 0, les limites à droite et à gauche de f en 0 existent et valent 0, pourtant f n'est pas continue en 0.

[Cryptocatron-11]

De plus, si f tend vers l'infini en a, alors sa limite en a existe et vaut + l'infini. Cette limite n'est pas un réel, mais elle existe.

Parfois il y a un abus de langage. Car certains oublient de rajouter le mot limite finie donc ça trouble l'esprit. Un jour en contrôle on m'a demandé lim Un (qui tendait vers l'infini) existe t-elle ? et il fallait répondre Non. d'où ma confusion.

Par exemple, si f est la fonction nulle sur R* et qui vaut 1 en 0, les limites à droite et à gauche de f en 0 existent et valent 0, pourtant f n'est pas continue en 0.

Bel exemple

[Skullkid]

Si on oublie de rajouter "finie" ou "dans R", c'est la personne qui a oublié de le rajouter qui est en tort. Une limite infinie est une limite, c'est d'ailleurs pour ça que ça contient le mot "limite" dans son nom. Les mots ont leur importance.

Si f(x) = x² :
existe.
n'existe pas dans .
est infinie.
f diverge au voisinage de + l'infini (celle-là est importante : converger ça ne veut pas dire avoir une limite, ça veut dire avoir une limite finie)

[Nightmare]

Salut!

Avant de rentrer dans un grand débat :

La fonction admet-elle une limite en 0? :lol2:

[Skullkid]

Je réponds oui, si c'est à moi que la question s'adresse :o

[mathelot]

continue à l'infini, ça peut être méromorphe définie sur la sphère S2, par exemple

[mathelot]

Salut!

Avant de rentrer dans un grand débat :

La fonction admet-elle une limite en 0? :lol2:

moi, je suis de l'ancienne mode, j'aurai tendance à répondre "oui" sans l'unicité, tout réel l convient
(je prend la déf de Weiertrsass 19ième siècle, , avec voisinage épointé)

[Le_chat]

La fonction admet-elle une limite en 0? :lol2:

Et bien c'est 0, notre fonction part de {0}x[1,+infini[, {0} est un point isolé de [1,+infini[ Donc la limite quand x tend vers 0 de f(x) c'est exactement f(0) qui est 0.

Si on veut vraiment s'en convaincre, utiliser la caracterisation séquentielle de la limite: Si (un) tend vers 0, (un) stationne à 0 ( avec-bien sur- un dans {0}x[1,+infini[ pour tout n)


Non?

[Nightmare]

Donc cette fonction serait continue en 0?

[Le_chat]

Oui, je pense.

[Skullkid]

Pour moi oui, la fonction est continue en 0.

[Nightmare]

Formellement, ça se tient, maintenant, c'est vraiment pas conforme avec l'idée de la continuité.

Si je prends la fonction , selon nous, elle est continue en tout ses points. Ca la fout mal graphiquement :lol3:

Je pense que parler de limite ou de continuité en un point autour duquel la fonction n'est pas définie est contraire au principe même de limite ou de continuité. De toute manière, ces cas pathologiques n'interviennent jamais dans la pratique...

[Cryptocatron-11]

Salut!

Avant de rentrer dans un grand débat :

La fonction admet-elle une limite en 0? :lol2:

Perso ma calculette dit non mais bon... En plus la fonction racine elle est pas définie en chiffre négatif et comme est négatif pour x inférieur à 1 .... C'est pas clair

Pour quelle soit continue il faut que lim f(x)=f(0)=0 quand x tend vers 0 sauf que ça donne limite inexistante... donc comment savoir si c'est égal à zéro ? J'aurais dis non