Tu as raison formellement, une application est souvent définie comme la donnée d'un triplet formé de l'ensemble de départ, de l'ensemble d'arrivée et du graphe (sous-ensemble du produit cartésien des deux).
Si on augmente l'ensemble de départ sans changer le reste, ce n'est plus une application.
Si on augmente l'ensemble d'arrivée sans changer le reste, c'est toujours une application. Pas la même, d'accord, on peut d'ailleurs perdre des propriétés comme la surjectivité. Mais on commet souvent l'abus de l'appeler du même nom, et dans tous les cas évoqués dans ce fil ça ne pose pas vraiment de problème : pas de problème quand on parle de la limite, et quand on parle de convergence, il convient bien sûr de préciser là où on se place (dans
...).
Tu sembles poser la question du pourquoi dans la définition 1.69 de limite on parle d'un sous-ensemble
de l'espace
et pas d'un sous-ensemble
de l'espace
. Tout simplement parce que ça n'apporterait rien (une application arrivant dans
peut canoniquement être considérée comme arrivant dans
) tandis que c'est indispensable de parler de
(une application définie sur
ne peut pas être considérée comme définie sur
). Et pour parler de limite de
en
il est bien sûr nécessaire d'avoir
dans l'adhérence du domaine de définition de
.
Histoire de t'embrouiller, un petit exemple. Soit
et soit
le recollement de deux copies de
le long de
. Autrement dit,
est
où on a dédoublé le point
en deux points
. Une base de voisinages de
dans
est formée des
pour
, avec l'analogue pour
.
Prenons
et
, et
définie par
=x)
. La fonction
est à valeurs dans
et se prolonge par continuité en
en une fonction à valeurs dans
, mais elle a aussi une limite en
qui n'appartient pas à
.
)