Lien entre limite et continuité

[Skullkid]

Formellement, ça se tient, maintenant, c'est vraiment pas conforme avec l'idée de la continuité.

Si je prends la fonction , selon nous, elle est continue en tout ses points. Ca la fout mal graphiquement :lol3:

Je pense que parler de limite ou de continuité en un point autour duquel la fonction n'est pas définie est contraire au principe même de limite ou de continuité. De toute manière, ces cas pathologiques n'interviennent jamais dans la pratique...

Je suis d'accord, mais tout l'enjeu se trouve dans la définition de "autour", qui est justement une question fondatrice de la topologie. Graphiquement ça la fout mal parce qu'on est habitué à travailler sur des réunions d'intervalles non réduits à un point, et que ce qu'on a l'habitude d'identifier graphiquement c'est la continuité sur de tels ensembles. Quand le domaine de définition contient un point isolé, la fonction est bel et bien définie autour de ce point, puisque le singleton qui contient ce point est un voisinage du point en question.

Quand on a une fonction continue sur R\Q et pas sur Q, graphiquement ça la fout mal aussi...

[Le_chat]

Pour moi une fonction est toujours continue aux points isolés de son ensemble de départ, les suites sont continues, etc...

[Nightmare]

Je suis d'accord, les applications prenant leurs valeurs dans un espace discret sont formellement continues.

Par contre on perd du coup l'opposition intuitive entre un phénomène discret et un continu

[Skullkid]

Par contre on perd du coup l'opposition intuitive entre un phénomène discret et un continu

Personnellement, quand j'entends "phénomène discret" je pense à un phénomène qui concerne uniquement certains moments précis, autrement dit je pense à un phénomène qui concerne un ensemble discret. Alors que quand j'entends "phénomène continu" je pense à un phénomène qui concerne un ensemble "continu" (sens à préciser) et qui ne fait pas de sauts.

En ce qui concerne mon intuition, le phénomène continu est "doublement continu" dans le sens où il est à la fois continu au sens d'une fonction continue (pas de sauts) et continu au sens où il concerne un ensemble continu, et l'idée que je me fais d'un ensemble continu c'est un ensemble connexe par arcs. C'est parce que j'ai en tête cette double continuité que ton exemple m'apparaît étrange, parce que quand tu dis "continu" je pense à quelque chose de plus fort que la continuité d'une fonction.