Lien entre espérance et fonction de répartition

[Gogogo99]

Bonjour,

Je ne comprends la formule suivante:

X une variable aléatoire quelconque. F sa fonction de répartition.

E[X]= - (intégrale F(x)) entre -infini et 0 + intégrale(1- F(x)) entre 0 et +infini


J'ai une démo qui utilise la formule E[X]= int x par rapport à F
et qui utilise l'intégration par parties.

Je ne comprends pas ce signifie l'intégrale par rapport à une fonction de répartition. Qu'est ce que ça signifie?
Peut dériver une fonction de répartition dans la cas général? (pour l'intégration par parties..)?

[zygomatique]

salut

J'ai une démo qui utilise la formule E[X]= int x par rapport à F

pas compréhensible ....

[Gogogo99]

salut



pas compréhensible ....

l'intégrale de x par rapport à la fonction de répartition sur R:

int(x) dF(x) sur R.

Je pense que ça vient du fait que la fonction de répartition caractérise la loi de X
donc si L note la loi de X (i.e: L= PoX^-1), L= F donc l'intégrale de x par rapport à F vaut celle de x par rapport à loi, ce qui est une définition de l'espérance.

Mais je ne suis pas sûr de cette explication.

[Gogogo99]

En ce qui concerne la preuve en question, je pense que ça vient du résultat suivant:

"Toute fonction monotone est dérivable presque-partout pour la mesure de Lebesgue"

(preuve difficile...)

En particulier , une fonction de répartition est dérivable presque-partout pour la mesure de Lebesgue.

donc dF(x)=F'(x)dx presque partout

alors dans la formule à prouver, il suffit de faire 2 IPP , à condition qu'on puisse faire des IPP presque partout, est ce le cas?