Analyse : lien entre uniforme continuité et dérivée

[vjjhgj]

Bonjour !
Je me demandais si il était vrai de dire que :
"la fonction est uniformément continue sur I" et "la dérivée de la fonction est bornée sur I" sont des propositions équivalentes, dans le cadre de fonctions dérivables évidemment, et avec I un intervalle ouvert, une fonction dérivable étant uniformément continue sur un intervalle fermé (si je ne me trompes pas...).
L'équivalence me semble vraie mais je n'arrive pas à la montrer.
Quelqu'un peut m'aider ?
Merci d'avance.

[L.A.]

Bonjour,

une fonction f dont la dérivée est bornée est lipschitzienne donc uniformément continue (écrire f(y)-f(x) sous forme d'intégrale).

En revanche, la fonction sur est uniformément continue (elle est continue sur le compact ) mais sa dérivée n'est pas bornée (elle tend vers l'infini mais très lentement au voisinage de 0).

Il faudrait donc remplacer "uniformément continue" par "lipschitzienne", et là ça marche.

[vjjhgj]

D'accord merci beaucoup pour cette réponse !

[vjjhgj]

Et aurais-tu une idée pour démontrer l'équivalence fonction liepschitz/dérivée bornée ?

[L.A.]

Soit alors


=> utiliser .

<= montrer que tous les taux de variation de en sont bornés par et en déduire que aussi.

[Pseuda]

Bonjour,

Ou bien : taux d'accroissement et passage à la limite : pour donné dans I, , donc limite quand , donc

[vjjhgj]

Merci beaucoup à vous deux j'ai compris maintenant !

[vjjhgj]

Ca m'a merveilleusement servi pendant mes partielles d'analyse encore merci !