Je voulais vous remercier pour vos réponses, et faire un petit bilan de ma réflexion.
Mon but au départ était de partir de cette définition :
Pour démontrer (entre autre) cette caractérisation :
Je crois que je m'en suis sorti :
Tout d'abord il faut voir que l'ensemble de départ
Ainsi, dire que
On peut donc chercher une limite en
Il faut aussi considérer l'ensemble d'arrivée comme un sous-ensemble de
Enfin, dans
Donc écrire :
Si x est supposé réel, cela est même équivalent à :
(ce qui pourrait se traduire "quand x est au voisinage de
C'est pourquoi certains ouvrages se permettent de dire que dans
Bilan :
1) Ce ne sont pas des voisinages de
2) Ce ne sont pas "les voisinages" de
Moralité : Il est évident qu'au lycée/en L1 on est obligé de simplifier et de vulgariser, et de donner des définitions incomplètes qui sont en réalité des conséquences de définitions plus générales.
Cependant, quand on arrive en L2/L3 et qu'on a les définitions générales, faire le lien avec les définitions du lycée peut s'avérer particulièrement difficile. Ça parait pourtant indispensable.
Le jour où j'ai compris que mettre des inégalités strictes ou large quand on parlait de limites revenait à choisir son système fondamental de voisinage : boules ouvertes ou fermées, ça m'a tellement éclairé !
Bref, plus de questions votre honneur, merci à tous les deux et à bientôt
