Stabilité : Structures Algébriques

[Blakes_x]

Bonjour à tous !

En relisant mon cours sur les structures algébriques, je m'aperçois qu'il y a un terme que je n'ai pas bien saisi.

Soit (G,*) un groupe et H un sous-ensemble de G.

On dit que H est un sous-groupe de G ssi :

H est stable pour *
(H,*) est un groupe

Sachant que l'autre définition que j'ai est :


différent de

La question que je me pose est : Que veux dire " H est stable pour * " ?
Et pourquoi on utilise ? Je ne comprends pas bien ce que ça signifie...Même si j'ai bien compris que désignait l'inverse de y.

L'explication du prof était : signifie que tous les inverses appartiennent à H...mais je ne trouves pas ça évident à voir .. :hein:

[Ben314]

Salut :
Une première remarque (du fait que j'ai pas compis en lisant) : l'ensemple vide, c'est pas \phi () mais \emptyset ()

Sinon, dire qu'un sous ensemble H est stable par la loi *, ça veut dire que, quel que soient a,b dans H, on a toujours a*b dans H.

Enfin, si on suppose qu'on a un sous ensemble non vide H tel que alors :
i) Comme H est non vide il existe un a dans H et, en prenant x=y=a, la formule te dit que l'élément neutre e() de G est forcément dans H.
ii) Maintenant qu'on sait que e est dans H, en prenant x=e, la formule dit que, si y est dans H alors son symétrique est aussi dans H.
iii) Maitenant si x et x' sont dans H, grâce au ii) on sait que le symétrique de x' est aussi dans H et, en appliquant la formule avec , on en déduit que x*x' est aussi dans H.

[Doraki]

On dit que H est un sous-groupe de G ssi :

H est stable pour *
(H,*) est un groupe

Si tu ne vérifies pas que H est stable par *, parler de (H,*) n'a aucun sens, et après tu peux pas demander à vérifier que (H,*) est un groupe.