[Défi] Une inégalité trigonométrique célèbre

[Olympus]

Salut à tous !

Le but de ce post est de donner une preuve très élémentaire de l'inégalité suivante :

Soient , et les angles d'un triangle, alors .

Il est un peu dommage que la plupart se contentent de la prouver avec l'inégalité de Jensen ( inégalité qui n'est vraiment pas élémentaire ), du coup, j'ai crée ce post afin de partager ma preuve avec vous

Vous découvrirez aussi au passage une preuve sympathique de l'inégalité de Cauchy-Schwarz qui ne passe ni par la récurrence, ni par la réécriture sous forme de sommes de carrés .

[I]

On considère un triangle tel que , et soient respectivement les angles opposés aux cotés de longueur , et .

(1) Soit son demi-périmètre . Montrer que :



(2) a- Montrer que les deux proposition suivantes sont équivalentes ( aussi connu sous le nom de "Substitution de Ravi" ) :

- , et sont les longueurs des côtés d'un triangle .
- .

b- En déduire , et en fonction de , et uniquement .

(3)

** Rappel : **

a- Pour tous réels et tels que , montrer que l'inégalité suivante est vraie :



b- En choisissant judicieusement des variables dont la somme des carrés est 1, déduire de la question précédente l'inégalité suivante ( Inégalité de Cauchy-Schwarz ) :





c- En déduire l'inégalité suivante :

.

d- Démontrer que , puis en déduire que :

.

(4) Conclure .

Enjoy :happy3:

[benekire2]

Marrant :zen:

Normalement c'est au la partie [I] que tu as mis ? ( Enfin c'est bizarre puisque le résultat est prouvé à la fin ... )

[Olympus]

Marrant :zen:

Normalement c'est au la partie [I] que tu as mis ? ( Enfin c'est bizarre puisque le résultat est prouvé à la fin ... )

Effectivement, au début je prévoyais de mettre d'autres inégalités trigonométriques ( donc plusieurs parties ), mais au final je me suis dit que ça ira avec une seule inégalité pour le moment . Donc le [I] est inutile ^^

Enfin, non, j'ai rien compris en lisant ton message :briques:

[benekire2]

non c'est bien t'as bien compris ! Pas de soucis.

[lapras]

Honnetement, quand on a un moyen géométrique aussi simple et intuitif que la convexité, pourquoi s'embêter avec des preuves plus compliquées ?
La seule chose non trivial a priori pour jensen est que (convexe et deux fois dérivable) <=> (f'' >= 0).

[Olympus]

Honnetement, quand on a un moyen géométrique aussi simple et intuitif que la convexité, pourquoi s'embêter avec des preuves plus compliquées ?
La seule chose non trivial a priori pour jensen est que (convexe et deux fois dérivable) (f'' >= 0).

Yo lapras :we:

Cela dépend des goûts, moi je n'aime pas les preuves qui passent par la convexité car je les trouve trop "no-skill" . Je préfère au contraire des preuves astucieuses utilisant des outils très élémentaires de niveau plus ou mois de 2nde .

Et cette preuve n'utilise justement que des outils de niveau seconde~première .

Après tout, rien n'empêche de donner des preuves alternatives

[Olympus]

Aucun intéressé ? :cry:

[mathelot]

Aucun intéressé ?

Si,si, exercice intéressant...

[mathelot]

Effectivement, au début je prévoyais de mettre d'autres inégalités trigonométriques ( donc plusieurs parties ), mais au final je me suis dit que ça ira avec une seule inégalité pour le moment . Donc le [I] est inutile ^^

Enfin, non, j'ai rien compris en lisant ton message :briques:

oui,d'autres :arf2:

[Olympus]

oui,d'autres :arf2:

T'as déjà terminé la première ? M'enfin, j'en doute pas :zen:

Vu qu'il n'y a pas besoin de répétition car ce sera la même méthode qui sera utilisée ( celle qui consiste à se ramener à une inégalité avec des réels positifs ), je vais juste donner la seconde inégalité à démontrer, qui est un petit clin d'oeil à benekire2 :zen:

L'inégalité à démontrer c'est celle-ci, elle est bien dure à résoudre avec uniquement des outils élémentaires ( AM-GM, réécriture sous forme de somme de carrés ) :



Pour vous aider à la réécriture de l'inégalité, prouvez et appliquez l'identité trigonométrique suivante :



Je donnerai des indices si besoin ! :happy3:

PS : la preuve de cette inégalité ne m'appartient pas ( je n'y étais pas arrivé ), par contre celle du premier post si ( m'enfin, au moins je l'ai découverte indépendamment ) .

[mathelot]

T'as déjà terminé la première ? M'enfin, j'en doute pas :zen:

oui, tu as raison. je vais déja commencer par la 1ère (je suis en train de
travailler sur le triangle mais des égalités)

[windows7]

sin(a)=2*cos(a/2)*sin(a/2)

donc ton truc devien 1/2*(sin(a)/cos(a/2) + sin(b)/cos(b/2)+ sin(c)/cos(c/2) ... < 3/2

on pose f= .. patati patata ca regle le truc en moins de 2

[Olympus]

sin(a)=2*cos(a/2)*sin(a/2)

donc ton truc devien 1/2*(sin(a)/cos(a/2) + sin(b)/cos(b/2)+ sin(c)/cos(c/2) ... < 3/2

on pose f= .. patati patata ca regle le truc en moins de 2

Le but ici est de se passer de ça

Car si on voulait, y a plus direct : La fonction étant concave en , l'inégalité de Jensen nous donne : , d'où le résultat .

Mais ici, le but est de se passer de tout ce qui est convexité, dérivées etc... et n'utiliser que des outils élémentaires .

[benekire2]

Je déterre , comment fait -tu pour montrer ceci ? Ça m'intrigue. Ca doit être con , y a pas une condition genre a+b+c=pi ?

Merci !

[Olympus]

Salut !

Je déterre aussi :zen: ( désolé benekire2, j'avais pas vu ton post avant )

Oui, .

Pour la prouver, on peut commencer par prouver que .

Puis remarquer que .

Ensuite, par Al-kashi on a :




D'où le résultat :zen:

[benekire2]

Ah ouais c'est bourrin ... mais on y arrive :lol3: j'aurais pourtant pensé a une méthode "classe" .. :ptdr:

Merci beaucoup en tout cas !

[benekire2]

Je peut plus éditer.

Et pour la preuve tu m'avais donné un lien vers un pdf mais j'arrive plus a le retrouver , tu peut me le passer stp ? MErci !