[DEFI] Une periode

[windows7]

findor >
Ben montre avec largument que l'odre de 10 divise l'odre de Z/nZ * .
sinon via la division euclienne c'est possible.

Je ne vois pas le mal a dire qu'une reponse est stupide, c'est au contraire productif dans le sens ou l'on comprend en quoi apres reflexion que la remarque est inutile.

J'etais pas au courant que c'est en "chouchoutan" les gens qu'ils deviennent meilleurs, loin de la meme ! ( tu es allemand tu dois bien le savoir ..)

"on ne pourra pas t'aider " .. a priori je n'ai pas demandé d'aide, mais merci quand meme :++:

[Finrod]

On est d'accord, bien entendu.

C'était sur la forme que je faisais une remarque et non sur le fond. Il faut pointer impitoyablement du doigt les erreurs des impies. (rire cruel)

Mais autant leur dire cash que se risquer à une moquerie. J'en ai croisé qui m'ont insulter après une seule remarque de ma part qui n'était pourtant en aucun cas injustifiée et n'avait rien de moqueur.

(Je suis arrivé en Allemagne par accident, je suis du sud.)

[Matt_01]

Pour ma part j'ai simplement montré l'équivalence et période de

D'abord on commence par justifier que, vu que n est premier avec 10, un tel p existe :
2 cas : soit est injective et donc bijective (sur [|1,n|]) et donc un tel p existe.
Soit elle n'est pas injective et il existe r et s tels que . En factorisant par ou qui est premier avec n, on obtient un p tel que
En écrivant alors cette égalité, on voit que p est une période (le développement étant directement périodique à la première décimale).
Et réciproquement, cela marche pareil. (En fait on a la même formule).

[benekire2]

sinon, a partir du message de ben, on conclu en disant que les 10^n ne sont congrus à 0 mod n .

[windows7]

matt 01 : ?????? je ne comprends rien a ce que tu as ecrit

[manon_n]

On est d'accord, bien entendu.

C'était sur la forme que je faisais une remarque et non sur le fond. Il faut pointer impitoyablement du doigt les erreurs des impies. (rire cruel)

Mais autant leur dire cash que se risquer à une moquerie. J'en ai croisé qui m'ont insulter après une seule remarque de ma part qui n'était pourtant en aucun cas injustifiée et n'avait rien de moqueur.

(Je suis arrivé en Allemagne par accident, je suis du sud.)

Dans l'absolu j'aime pas trop qu'on me dise que mes remarque sont inutiles, mais c'est pour mon bien. Et puis je me suis énervé sur windows7 un jour, alors il a le droit ...

sinon sur le problème , quelqu'un peut m'expliquer la méthode "rapide" que vous semblez suggérer ?

Merci d'avance

[windows7]

salut

regarde le message #31 ( celui de ben ), il est tres interessant.

concernant la solution rapide, c'est pas pour faire des mystere mais ca va pa te parler ..

[benekire2]

salut ,

manon ->> Une fois que tu as lu le post de ben comme windows7 te l'as suggéré, la méthode "rapude" est même plus simple que la "longue" mais moins belle .

Tu te retrouve avec donc n divise et comme n ne divise pas 10, il va pas diviser 10*10*10*10*10..... donc n divise i.e le résultat attendu !

La méthode "longue" est peut être un peu plus dur à comprendre ( largement suggérée par ben) :

On note R(k) le k-ième reste. On a donc R(0)=1 et R(k+1) est le reste de la division de 10*R(k) par n.

Supposons que R(a+1)=R(b+1) D'autre part 10*R(a)=mn+R(a+1) i.e R(a+1)=10*R(a)-mn du coup on en déduit que 10*R(a)-mn=10*R(b)-m'n et donc 10*(R(a)-R(b))=(m-m')n et donc n divise le membre de gauche, mais surement pas 10 d'où l'existence de k tel que R(a)-R(b)=kn, i.e R(a)=R(b)+kn sauf que le reste est strictement inférieur au diviseur (qui est n) donc R(a)=R(b) et par récurrence , il existe p tel que R(0)=R(p) et le plus petit de ces p est la période, ici deux manières de conclure :

1- On reprend le post de ben, et grâce à ce qui précède, on en déduit que l'écriture décimale de 1/n est périodique a partir de la première décimale.

2- On remarque par récurrence que R(k)=10^k+mn et donc 1=10^p+mn i.e 10^p-1=-mn et donc n divise 10^p1

Fiini !