Fonction holomorphe

[lisonn]

Bonjour,

Je sèche sur un problème qui ne doit pas etre très compliqué....
Soit un ouvert de et . Montrer que si vérifie alors

Je ne vois pas comment commencer...

[Ben314]

Salut,
Il me semble que ce n'est pas "super simple" (c'est en fait un problème de revètement)...
Une methode possible qui me vient à l'esprit est la suivante :
On prend un . Comme on a et la continuité de en assure l'existence d'un tel que le disque ouvert soit contenu dans et que .
Comme est un ouvert étoilé de , il existe une détermination holomorphe du logarithme sur c'est à dire une fonction .
On considère alors la fonction . Elle est holomorphe sur et est la restriction de à .
Je te laisse montrer que, pour tout , , puis, en utilisant la connexité de et la continuité de la fonction qu'en fait est constante.
Tu en déduit que, sur , est holomorphe.

P.S. Il y a peut être plus simple, mais... je vois pas.

[ffpower]

J'ai eu la même solution, mais je suppose moi aussi qu'il y a plus simple..( me suis dit " bah je vais attendre la réponse de Ben :lui prof moi étudiant"^^, mais bon, tant pis ). Je pense qu'on peut p-e faire un trés petit chouia plus simple en utilisant de l'inversion locale sur z² ( mais au final, l'idée reste exactement la même )

Sinon, j'ai l'impression qu'en affinant, on peut zapper l'hypothese "à valeurs dans C* " ..

[Ben314]

Salut,
Sur l'inversion locale, je suis d'accord, mais je ne sais pas si l'inversion locale holomorphe est systématiquement vue "assez tôt" dans un cours sur les fonctions holomorphes, alors que je pense que les déterminations du log sont incontournables...
Pour ton second point, i.e. que l'on peut remplacer C* par C, je suis tout aussi d'accord, mais je ne sais de nouveau le faire qu'en étudiant localement f au voisinage d'un de ces zéros...

[Doraki]

Sinon, j'ai l'impression qu'en affinant, on peut zapper l'hypothese "à valeurs dans C* " ..

pour pouvoir dire que z -> sqrt(z) est une fonction holomorphe ?

[Ben314]

pour pouvoir dire que z -> sqrt(z) est une fonction holomorphe ?

Sauf erreur, si tu prend un ouvert contenant 0, tu ne peut non seulement pas trouver de fonction racine(z) holomorphe, mais pas non plus en trouver de continue.
Ici, l'exo demande de montrer que, s'il y a une soluce continue, alors elle est aussi holomorphe.

P.S. Je me demande d'ailleurs si on ne peut pas bêtement montrer que g est C-dérivable en revenant à la définition avec des limites...

P.S.2 : si ça marche, et c'est complètement con-con : on écrit simplement que [g(z)-g(zo)] / (z-zo) = [f(z)-f(zo)] / [(z-zo).(g(z)+g(zo)] qui admet une limite lorsque z tend vers zo.

P.S.3 : le P.S.2. ne marche bien sûr que si g(zo) est non nul, c'est à dire avec l'énoncé de départ.

[ffpower]

Maintenant que tu le dis :
(g(z)-g(z_0))/(z-z0)=(f(z)-f(z_0))/(z-z0)*1/(g(z)+g(z_0))->f'(z0)/g(z0)
donc ca marche dans le cas ou f ne s annule pas, et c'est effectivement largement plus simple :)

Edit :flute, me suis fait doubler par un edit^^

[Ben314]

Edit :flute, me suis fait doubler par un edit^^

Oui, mais l'edit est de 19h25 et ton post de 19h27 HaHaHa !!!

[barbu23]

T'es faché contre moi Ben314 ? :hum: :cry:

[ffpower]

Bon du coup ca m a inspiré, donc, exo :
Si f=g o h sur un ouvert U avec f,g holomorphes sur C et h continue sur U, montrer qu'en fait h est holomorphe sur U :zen:

[Ben314]

Bon, on peut commencer bourrin, h=g^(-1)of donne l'holomorphie en tout point z tel qu'on puisse définir g^(-1), au voisinage de f(z), c'est à dire tel que g'of(z) soit non nul.
Sauf erreur, c'est terminé, vu qu'une fonction continue sur un ouvert U et holomorphe sur U privé d'un point est forcément holomorphe sur U (on le démontre en ecrivant que f(z)=intégrale_à_paramètre)

[ffpower]

Qui te dit que l'ensemble des z "qui chient" est discret?

[Ben314]

Ben, sauf erreur, les zéros d'une fonction holomorphe (ici g'of) non identiquement nulle c'est bien discret (sur un ouvert connexe).
La ou ça déconne, c'est si g' est nulle sur un truc un peu gros, mais de toute façon, dans ce cas, ton exo déconne : si g est constante, on déduit pas grand chose sur h ne connaissant que goh !!!

[Doraki]

Quand par exemple, f et g sont toutes les deux identiquement nulles, il faut donc montrer que toute fonction h continue sur U est holomorphe sur U.

[ffpower]

oui pardon pour les identiquement nulles tout ca tout ca^^

Par contre j avais mal lu ce que t avais écrit Ben : du coup, le fait que g' non nul en f(z) n implique pas que g^{-1} holomorphe au voisinage de f(z). Ya un prob d espace de départ/arrivée la..

[Ben314]

Si on prend h:U->V ; g:V->W et donc f:U->W, je pense qu'il suffit de supposer U connexe (donc h(U) aussi), f non identiquement nulle sur U et g non constante sur h(U)...

[ffpower]

oui probablement, ct juste pour éviter d insérer plein d ouverts lol..

[Ben314]

Par contre j avais mal lu ce que t avais écrit Ben : du coup, le fait que g' non nul en f(z) n implique pas que g^{-1} holomorphe au voisinage de f(z). Ya un prob d espace de départ/arrivée la..

Effectivement, je m'est gourré : il faut que g'(h(z)) soit non nul pour que, g réalise une bijection (bi-holomorphe) d'un vois. de h(z) sur un vois. de goh(z)=f(z).

P.S. Et là, il y a un "blème" vu que rien ne dit que g'oh est holomorphe...

P.S.2 : Vu que, si h était dérivable, on aurait f'=h'.g'oh, n'y a t'il pas moyen de montrer que, même si h n'est que continue, on a g'oh(z)=0 => f'(z)=0 ?

[Ben314]

Je pense avoir trouvé un truc :
On se place en un zo tel que f'(zo) soit non nul. f réalise une bijection d'un vois de zo sur un vois de f(zo).
La fonction hof^(-1) est alors un inverse à droite continu de g sur un voisinage de f(zo) et il me semble bien que c'est suffisant pour en déduire que g'[hof^(-1)(f(zo))]=g'(h(zo)) est non nul.

[ffpower]

Yep, ca marche :)
Ma méthode pour montrer que l'ensemble "ou ca chie" est discret:
si (z_k) est une suite convergent d éléments vérifiant g '(h(z_k))=0 , alors h(z_k) est une suite convergente a valeurs dans l ensemble discret des zeros de g ', donc h(z_k) stationne, donc f(z_k)=g(h(z_k)) stationne aussi, donc z_k stationne par holomorphie de f..