C'est tout à fait ça pour la justification !
Pour justifier ensuite ce qui se passe sur le dessin, il faut utiliser ces formules avec l'arctan qui donnent l'expression de l'argument de x+iy, en prenant garde au fait que l'on veut que l'argument soit dans
, donc ce n'est pas tout à fait la formule habituelle. (tu utilisais peut-être la formule qui donne l'argument dans
, ce qui donnait donc les mêmes limites)
Le mieux, c'est de distinguer les cas, suivant dans quel quart du plan complexe on est.
Néanmoins, c'est tout à fait autorisé d'admettre ces résultats, qui comme tu dis se voient sur un dessin. La formule qui te donne l'argument ne fait que traduire ce qu'est géométriquement l'argument d'un nombre complexe, et donc c'est normal qu'elle vérifie ces propriétés.
Je n'ai pas répondu à ta question :
Est ce qu'il y a un moyen de mieux justifier en utilisant le thèoreme des zéro isolé pour montrer que fs-mon prolongement est identiquement nulle. Cependant il faudrait pour ça que je trouve une zone où il y a une "accumulation de zero" or je ne vois pas comment faire...
Le principe des zéros isolés dit que si f est une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de C (on dit un domaine), telle que l'ensemble des zéros de f admet un point d'accumulation, alors f est la fonction nulle.
Ici, tu voudrais appliquer ce résultat à la fonction définie par
 - 1/(z^2+1)^s)
(le deuxième terme est la définition habituelle de la puissance entière) sur l'ouvert Oméga (en effet, la fonction
n'est définie que sur Oméga !).
Cette fonction est nulle sur Oméga, on en déduit qu'elle est nulle sur Oméga, par le principe des zéros isolés. On apprend rien de plus, ça ne nous dit pas ce qu'il se passe sur la demi-droite d, vu que la fonction n'y est pas définie. (a priori)
Voilà. :happy3:
