Démontrer qu'une fonction est holomorphe

[J+10]

Bonjour à toutes et à tous :we:

J'aurais besoin d'aide pour démontrer que exp(-z²) est holomorphe: En fait j'ai la définition d'une fonction holomorphe (équations de Cauchy-Riemann), mais je ne comprend pas comment l'appliquer car il faut dériver la fonction f en fonction de x et ensuite en fonction de y mais je n'ai pas de terme en x et y ... mais je me suis demander si z n'était pas égale à x+iy ... bref je suis un peu perdu ... :help:

Merci d'avance :lol3:

[Ben314]

Salut,
Deux méthodes :

1) Si tu as un tout petit peu avancé dans le cours, ben tu as du voir que toute fonction polynôme est holomorphe (donc en particulier z->z² l'est) , que z->exp(z) est holomorphe et que toute composée de fonction holomorphe est holomorphe.

2) Si tu en est au début du balbuciment de la théorie, il faut effectivement que tu regarde ta fonction de C->C;z->f(x) comme une fonction R²->R²;(x,y)->(P(x,y),Q(x,y)) en séparant au départ et à l'arrivée les parties réelles et imaginaires.
En résumé, cela te conduit donc à dire que z=x+iy et que f(z)=P(x,y)+iQ(x,y) (avec x,y, P et Q réels)
cela signifie que P(x,y)=Re(f(x+iy)) et Q(x,y)=Im(f(x+iy)).
Il te faut ensuite montrer que les fonctions P et Q ainsi trouvées vérifient bien les fameuses "conditions de Cauchy".

Evidement, le 2) est super plus long que le 1), mais il faut l'avoir fait une ou deux fois pour se rappeler de la méthode lorsque l'on arrive pas à conclure à l'aide de compositions.

[J+10]

D'accord, donc dans mon cas, je vais avoir exp(-(x+iy)²) = exp(-x²)*exp(-2xyi)*exp(y²) et donc ma partie réelle va être exp(-x²)*exp(y²) et ma partie imaginaire exp(2xy) ? je ne pense pas que ce soit ça mais je ne vois pas comment faire pour savoir quelque chose de la forme a+ib ... sauf notamment en utilisant le ln mais je ne vois pas comment je pourrais procéder ...

[Ben314]

D'accord, donc dans mon cas, je vais avoir exp(-(x+iy)²) = exp(-x²)*exp(-2xyi)*exp(y²) et donc ma partie réelle va être exp(-x²)*exp(y²) et ma partie imaginaire exp(2xy) ? je ne pense pas que ce soit ça mais je ne vois pas comment faire pour savoir quelque chose de la forme a+ib ... sauf notamment en utilisant le ln mais je ne vois pas comment je pourrais procéder ...

Bon, effectivement, tu écrit... un peu n'importe quoi.

Dans exp(-x²)*exp(-2xyi)*exp(y²), les termes exp(-x²) et exp(y²) sont effectivements réels, mais tant que tu n'aura pas écrit le exp(-2xyi) sous la forme a+ib, ben je vois pas comment tu risque d'en déduire quoi que ce soit !!!!

Aprés, concernant le exp(-2xyi), t'aurais pas par hasard une définition qui te dit comment ça s'écrit sous la forme a+ib une exponetielle d'un imaginaire pur ?

Remarque : apprendre les... définitions, c'est on va dire le mini du mini du mini du travail à faire....

[J+10]

je t'avoue qu'il me manque beaucoup de bases fondamentales car pendant mes années de lycée le travail ne faisait pas partie de mes priorités, donc j'essaye de me rattraper et j'ai espoir d'y arriver.

En effet on peut mettre exp(-2xyi) sous la forme cos(-2xy) + isin(-2xy) , c'est bien ça ?

[Ben314]

je t'avoue qu'il me manque beaucoup de bases fondamentales car pendant mes années de lycée le travail ne faisait pas partie de mes priorités, donc j'essaye de me rattraper et j'ai espoir d'y arriver.

En effet on peut mettre exp(-2xyi) sous la forme cos(-2xy) + isin(-2xy) , c'est bien ça ?

Oui, c'est bien ça.

[J+10]

Ok et bien merci beaucoup en tout cas et passes une bonne fin de soirée !