Logarithme d'une fonction holomorphe

[kingsize]

Bonjour, voici un résultat sur lequel je bloque:

Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U de C. On suppose que f ne s'annule pas sur U.
Alors f admet un logarithme holomorphe (i.e il existe g holomorphe dans U tel que f=exp(g)) si et seulement si f'/f admet une primitive dans U.

Le sens => est trivial.
C'est sur le sens <= que je bloque. En effet, si je considère g holomorphe tel que g'=f'/f, alors en posant h=(exp (g))/f, on a h'=0. Mais ce n'est pas suffisant pour conclure. Par exemple, j'aurais pu conclure si U était connexe.

Quelqu'un aurait-il une indication ?
Merci par avance.

[Nightmare]

Salut,

sans connexité on a pas unicité !

[kingsize]

même avec la connexité, il n'y a pas unicité.

[Nightmare]

Pardon, je me suis mépris, je voulais dire existence !

[kingsize]

Pardon, je me suis mépris, je voulais dire existence !

si U n'est pas connexe, on n'a pas forcément existence ? Ah ben zut alors, il y avoir une coquille dans l'énoncé.

[kingsize]

up
personne pour m'aider ?

[Nightmare]

Que veux-tu qu'on te dise de plus, l'énoncé est incorrect!

[kingsize]

Que veux-tu qu'on te dise de plus, l'énoncé est incorrect!

http://math.univ-bpclermont.fr/~heurteau/holo.ps

regarde en fin de page 4, paragraphe 5.3, théorème 5.6
On m'aurait menti ?

[Nightmare]

En fait il faut que f'/f possède une primitive, on pourrait par exemple prendre un ouvert simplement connexe (et on applique le théorème de Poincaré : sur un ouvert simplement connexe une forme différentielle fermée est exacte) !

[Nightmare]

Pardon, j'avais très mal lu ton énoncé, il est supposé que f'/f admet une primitive g.

Du coup si l'on pose h(z)=f(z)exp(-g(z)) on obtient que h'(z)=0 donc h est constante. Soit x dans l'ouvert U et y tel que f(x)=exp(y), on a h(x)=f(x)exp(-y)=1. (quitte à translater, on peut supposer que g(x)=y)

Donc h est constante égale à 1 et du coup f(z)=exp(g(z)), c'est une détermination holomorphe du logarithme.

[kingsize]

Pardon, j'avais très mal lu ton énoncé, il est supposé que f'/f admet une primitive g.

Du coup si l'on pose h(z)=f(z)exp(-g(z)) on obtient que h'(z)=0 donc h est constante. Soit x dans l'ouvert U et y tel que f(x)=exp(y), on a h(x)=f(x)exp(-y)=1. (quitte à translater, on peut supposer que g(x)=y)

Donc h est constante égale à 1 et du coup f(z)=exp(g(z)), c'est une détermination holomorphe du logarithme.

c'est vrai si U est par exemple connexe, mais pas dans le cas général non ?
En l'occurence, on suppose ici que U est juste ouvert.

[Nightmare]

Oui oui, j'ai pas dit que j'avais abandonné mon idée que U devait être connexe, je corrigeais juste mon post d'avant!

[kingsize]

d'accord :happy2:
Mais alors, si on suppose seulement U ouvert, comment on fait ?

[Nightmare]

Comme je te l'ai dit, on ne peut pas :lol3:

[ffpower]

je vois pas le probleme,il suffit de définir un logarithme de f sur chaque compo connexe non?

[Nightmare]

Cela ne nous donne pas une détermination holomorphe !

[ffpower]

Si U est union des U_i connexes,ce qui a été fait montre qu il existe g_i holomorphe sur U_i tel que f=e^{g_i} sur U_i.Apres suffit de poser g=g_i sur U_i,et ya pas de prob,c est une fonction holomorphe sur U