Re !
Il est clair que ce qui cause problème, c'est le prolongement sur la demi-droite (que je noterai d par la suite) qu'on a retiré au demi-plan pour construire l'ouvert Oméga.
L'implication inverse est aisée : si s est un entier relatif, l'expression
est parfaitement définie (multiplication et division des complexes), sans avoir recours au logarithme.
Si s est positif, c'est donc le quotient de la fonction constante égale à 1 (évidemment holomorphe), et de la fonction
elle aussi holomorphe sur le demi-plan (c'est un polynôme !).
On traite de manière similaire le cas s négatif.
De plus, cette fonction définie sur tout le demi-plan coïncide avec la fonction
sur l'ouvert Oméga (le vérifier), c'est donc un prolongement méromorphe.
La réciproque est plus délicate. (quoique)
Suppose que l'on puisse prolonger
sur tout le demi-plan par une fonction de la forme
, avec g et h holomorphes, et h non constante égale à 0.
h ne s'annule pas sur toute la demi-droite d (sinon elle serait nulle partout !)
Il existe donc un point
de d où g/h est défini et est holomorphe, et en particulier continue. Ainsi, comme g/h prolonge
(de manière continue), on en déduit que
tend vers la même valeur lorsque
tend vers
par la droite et par la gauche (faire un croquis si ce n'est pas clair, on a plusieurs manières de s'approcher de
, et en particulier, soit en restant dans quart de plan à droite, soit le quart de plan à gauche)
Or ces limites sont calculables, avec l'expression de
sous forme
.
Calcule ces deux limites (il faudra utiliser la définition du logarithme que j'ai introduite dans mon premier message), et vérifie qu'elles ne sont égales que si s est un entier relatif.
:happy3: