Equation de plan

[mike10]

Merci de bien voulir m'aider le plus rapidement possible j vous en serai reconnaissant

L'espace est rapporté à un repère orthonorma (O;vecteur i; vecteur j; vecteur k).
Les points A,B,C ont pour coordonnées A(3; -2; 2) B(6; 1; 5) C(6; -2; -1)

A) 1) Demontrez que le triangle ABC est un triangle rectangle
2) Soit P le plan d'equation cartésienne : x+y+z-3=0
rouvez que P est orthogonal à la droite (AB) et passe par le point A
3) Soir P' le plan orthogonal à la droite (AC) et passant par le poin A. Determinez une equation cartésienne de P'
4) Determineun vecteur directeur de la droite delta intersection des plans P et P'

B) 1) Soit D le point de coordonées (0; 4; -1)
Prouvez que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC)
2) Calculez le volume du tétraedre ABDC
3) Prouvez que l'angle BDC a pour mesure pi/4 radian
4) a) Calculez l'aie du triangle BDC
b) Deduisez en la distance du point A au plan (BDC)

[XENSECP]

Ok et qu'as tu fait ?

[Florélianne]

Bonjour,
L'espace est rapporté à un repère orthonormal (O;i*; j*; k*). notation; i*--> vecteur i
Les points A,B,C ont pour coordonnées A(3; -2; 2) B(6; 1; 5) C(6; -2; -1)

A) 1) Démontrez que le triangle ABC est un triangle rectangle
tu dois d'abord calculer les coordonnées des vecteurs AB* , AC* et BC*
ensuite tu as le choix avec Pythagore (en calculant les nomes des trois vecteurs) ou montrer que deux des vecteurs sont orthogonaux
2) Soit P le plan d'équation cartésienne : x+y+z-3=0
Prouvez que P est orthogonal à la droite (AB) et passe par le point A
P passe par A (ou A est dans P) les coordonnées de A vérifient l'équation de P
u*= i*+i*+k* est un vecteur "normal au plan" c'est à dire orthogonal
il suffit de montrer que AB* et u* sont colinéaires
3) Soir P' le plan orthogonal à la droite (AC) et passant par le point A. Déterminez une équation cartésienne de P'
(AC) est orthogonale à P' donc pour tout M de P'
AM*est orthogonal à AB*
4) Déterminer un vecteur directeur de la droite delta intersection des plans P et P'
(AB) est orthogonal à P
(AC) est orthogonal à P'
ABC est rectangle
imagine l'espace, tu trouveras la réponse

B) 1) Soit D le point de coordonnées (0; 4; -1)
Prouvez que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC)
il suffit deprouver que AD* est orthogonal à AB* et AC*
2) Calculez le volume du tétraedre ABDC
volume : 1/3 (aire de ABC)AD
3) Prouvez que l'angle BDC a pour mesure pi/4 radian
montre que le triangle BCD est isocèle rectangle (pas vérifié, mais logique)
4) a) Calculez l'aire du triangle BDC
moitié de l'aire d'un carré

b) Déduisez en la distance du point A au plan (BDC)
La distance de A au plan (BCD) est la hauteur du tétraèdre ADCB posé sur la base BCD
la formule du volume est toujours valable et on connait le volume et l'aire de la base...
Bon travail