Equation cartésienne d'un plan

[mythos75]

Salut à tous,

Je viens de m'inscrire sur ce sympathique forum
Je suis belge, on a pas forcément les même programmes mais je pense poster dans le bon forum.

Je suis en train de revoir les droites, les plans, leurs équations et toutes ces jolies choses.

Je n'arrive pas à comprendre quelque chose qui doit être très simple : comment trouver l'équation cartésienne d'un plan ?

On a un point A (1,2,-1),
un vecteur AB (-1,1,3),
un vecteur AC (-2,-2,4).

L'équation paramétrique est (ça j'ai compris) :

x = 1 + k1 (-1) + k2 (-2)
y = 2 + k1 (1) + k2 (-2)
z = -1 + k1 (3) + k2 (4)

Et l'équation cartésienne est :

= x - y + 2z -1 = 0

... mais je ne sais pas comment y arriver.

Merci d'avance de votre aide

[Quidam]

Bonjour,

Si tu as les équations paramétriques, tu peux, par exemple, éliminer les deux paramètres : tu tomberas nécessairement sur une équation cartésienne du plan !

[mythos75]

Eliminer les deux paramètres ? ;) = x + 2y - z = 0 ?

[rene38]

Bonjour

On a un point A (1,2,-1),
Et l'équation cartésienne est :

= x - y + 2z -1 = 0

Je crois à une erreur :
1 - 2 + 2(-1) - 1 = 0 me paraît inexact.

[mythos75]

Ah c'est vérifiable comme ça (savait même pas) ?
C'est ma feuille qui est incorrecte alors :mur:

[rene38]

Ah c'est vérifiable comme ça (savait même pas) ?
C'est ma feuille qui est incorrecte alors :mur:

Si A est dans le plan alors ses coordonnées vérifient une équation de ce plan.

[Fanatic]

Un plan de l'espace est déterminé par 3 points ou 1 point et un vecteur normal ou 1 point et 2 vecteurs non colinéaires appelés vecteurs directeurs du plan. C'est ce 3ème cas que tu as.
Ton plan est l'ensemble des points de l'espace tels que :
.
Ecris cette égalité avec les coordonnées de vecteurs, tu obtiens un système en et les 2 paramètres et . Tu exprimes par exemple et en fonction de et et tu injectes ces expressions dans l'égalité faisant intervenir .
Tu passes tout dans le membre de gauche et tu obtiens l'équation cartésienne du plan avec caractérisant ce plan de vecteur normal .
C'est un peu pénible mais il faut savoir que l'équation cartésienne d'un plan découle d'un considération géométrique traduite par une égalité vectorielle caractéristique.

Salut à tous,

Je viens de m'inscrire sur ce sympathique forum
Je suis belge, on a pas forcément les même programmes mais je pense poster dans le bon forum.

Je suis en train de revoir les droites, les plans, leurs équations et toutes ces jolies choses.

Je n'arrive pas à comprendre quelque chose qui doit être très simple : comment trouver l'équation cartésienne d'un plan ?

On a un point A (1,2,-1),
un vecteur AB (-1,1,3),
un vecteur AC (-2,-2,4).

L'équation paramétrique est (ça j'ai compris) :

x = 1 + k1 (-1) + k2 (-2)
y = 2 + k1 (1) + k2 (-2)
z = -1 + k1 (3) + k2 (4)

Et l'équation cartésienne est :

= x - y + 2z -1 = 0

... mais je ne sais pas comment y arriver.

Merci d'avance de votre aide

[mythos75]

Ok merci, oui c'est logique.

[Fanatic]

Un plan de l'espace est déterminé par 3 points ou 1 point et un vecteur normal ou 1 point et 2 vecteurs non colinéaires appelés vecteurs directeurs du plan. C'est ce 3ème cas que tu as.
Ton plan est l'ensemble des points de l'espace tels que :
.
Ecris cette égalité avec les coordonnées de vecteurs, tu obtiens un système en et les 2 paramètres et . Tu exprimes par exemple et en fonction de et et tu injectes ces expressions dans l'égalité faisant intervenir .
Tu passes tout dans le membre de gauche et tu obtiens l'équation cartésienne du plan avec caractérisant ce plan de vecteur normal .
C'est un peu pénible mais il faut savoir que l'équation cartésienne d'un plan découle d'un considération géométrique traduite par une égalité vectorielle caractéristique.

[rene38]

Ton plan a pour équation cartésienne 5x - y + 2z -1 = 0 sauf erreur.

[Fanatic]

Mais pourquoi tu luis donnes la réponse bon sang ??? Quel est ton but ? Montrer que tu sais faire ? On le sait bien alors quoi ?
C'est pas la politique du forum de cracher les réponses.
Fais attention à ça.
Merci.

[mythos75]

Tu exprimes par exemple \alpha et \beta en fonction de x et y et tu injectes ces expressions dans l'égalité faisant intervenir z .

C'est là que je bloque... nous on appelle ça la "substitution".
Bête exemple, pour résoudre :
x = l + o + l
y = x + a + b
on fait :
y = l + o + l + a + b

Mais dans ce cas-ci, regarde mon équation paramétrique stp, comment je fais pour exprimer k1 et k2 en fonction de x et y ?

[Fanatic]

Nommons les 3 équations paramétriques .
En fait tu exprimes en fonction de et de dans puis en fonction de et dans et enfin en fonction de dans .
OK ?

[rene38]

Mais pourquoi tu luis donnes la réponse bon sang ??? Quel est ton but ? Montrer que tu sais faire ? On le sait bien alors quoi ?
C'est pas la politique du forum de cracher les réponses.
Fais attention à ça.
Merci.

Si tu suivais le fil, tu constaterais que le but de mythos75 n'est pas de connaître une équation cartésienne du plan - il croit la connaître - mais de passer d'équations paramétriques de ce plan à une équation cartésienne.
S'il se fie à l'équation qu'il "connaît", il peut chercher longtemps à l'obtenir à partir des équations paramétriques EXACTES qu'il a calculées.
Il a le départ et cherche le chemin : comment le trouver si le but est erroné ?

[mythos75]

Désolé mais j'y arrive pas...

En fait tu exprimes k_1 en fonction de y et de k_2 dans (2)

Je fais k1 = -y -2 -k2 ?

[Fanatic]

Lis mes 2 posts. Je lui expliques d'une part qu'il faut partir d'une relation vectorielle pour arriver au système de 3 équations paramétriques. Comme ça il sait déjà comment sont obtenues les équations paramétriques d'un plan.
Ensuite, je luis explique comment, à partir des 3 équations paramétriques, on arrive à l'unique équation cartésienne en les paramètres ayant été utilisés pour ne laisser apparaitre que .
Et toi tu ponds l'équation du plan. A quoi ça va lui servir s'il n'a pas la démarche. Tu comprends ?
Bref, tu intention était bonne mais inutile pour lui.
On est parfois si enthousiaste qu'on fait des erreurs et moi le premier. Laissons tomber ça OK ?
Il a tout en main, il devrait comprendre maintenant.

[Fanatic]

j'avais pas vu que tu as écrits "Fanatic le bien nommé"
Fanatic est une marque de flotteur pour le Windsurf que je pratique.
Crois tu que je sois Fanatic mais je pense plutôt être paisible et moins Fanatic à mon âge...

[Fanatic]

Il y a des erreurs de signe...

Désolé mais j'y arrive pas...
Je fais k1 = -y -2 -k2 ?

[Fanatic]

Ensuite tu substitues l'expression de dans , il vient :

Tu réduis, tu isoles dans un des membres et il se trouvera ainsi exprimé en fonction de .
Tu substitues ces expressions dans (3). Et tu obtiens, après arrangement, ton équation cartésienne.

[Fanatic]

Ensuite tu substitues l'expression de dans , il vient :

Tu réduis, tu isoles dans un des membres et il se trouvera ainsi exprimé en fonction de .
Tu substitues ces expressions dans . Et tu obtiens, après arrangement, ton équation cartésienne.