Probleme application exponentielle

[andalous]

voila jai un dm sur lexponentielle dans les autres sciences et je bloque sur certin points merci de meclaircir


I.En medecine : temps d’effet d’un medicament

On admet, lorsqu’on injecte dans le sang une dose A d’un medicament, qu'il reste dans le sang, a la date t, apré elimination naturelle, la quantité A exp(-t/24) de medicament. L'unité de temps est l'heure; l'origine du temps est linstant de linjection; l(unité de volume est le cm^3.

1.quelle quantite de medicament reste-t-il 8 heure apré injection?

2.On injecte une dose A toutes les 8 heures. Représenter graphiquement la quantité de medicament contenue dans le sang pendant les 64 heures qui suivent la premiere injection.

3.Le medicament est efficace lorsque le sang vehicule une quantité au moins egale a 2.2A. D'apré le graphique, indiquer l'instant a partir duquel le medicament sera efficace.

4.a)Démontrer qu'apré la n-ieme injection, la quantité contenue dans le sang est: A(1-exp(-n/3))/(1-exp(-1/3))

b) retrouver par le calcul le resultat de la question 3
c)Lorsque la quantité de medicament presente dans le sang est superieur a 3.65A; le medicament devient dangereux. Serait-il dansgereux de poursuivre le traitement au rythme précédent?


II.En physique la datation par le carbone 14

On note N(t) le nombre d'atomes de carbone 14 presents a l'instant t dans un prelevement de matiere organique. Les physiciens montrent que la fonction N verifie pour tout reel T l'equation N'(t)=-kN(t) et N(0)=N(indice 0), avec k=1.245*10^-4

1.Determiner N(t) en fonction de N(indice 0) et de t

2. On appelle periode ou demi-vie du carbone 14, le temps T au bout duquel la moitier des atomes se sont desintegres.
a)t etant exprimé en années, justifier l'égalité N(t+T)=(1/2)N(t)
b)Deduisez en que T=(ln2)/k. donner une valeur approchée de T

3.Chez les etres vivants, le carbone 14 est renouvelé constamment. A leur mort le carbone 14 present dans le corps se desintegre.
Des archeologues ont trouvé un fragment d'os dont la teneur en carbone 14 est 15% de celle d'un fragment d'os actuel de meme masse pris comme témoin. Calculer l'age de ce fragment.

voila jai reussi le I 1) mais le graphik jai du mal a le construire et le 4) je vois ke la formule c celle de la somme dune suite geometrik de raison e(-1/3) mais jarrive pas a expliker pourkoi merci encore bye

[becirj]

Bonjour
Exercice 1
2. Pour bien voir, il est utile de prendre des exemples.
Au bout de 10 heures, la quantité restant de la première injection est , la quantité restant de la deuxième injection est
car cette injection n'agit que depuis 2 heures, la quantité totale est la somme des deux.
Pour le graphique sur l'intervalle [0,8], on représente la fonction
Sur l'intervalle [8,16], on représente
On continue : sur l'intervalle [16,24] , on représente
...
4. Le raisonnement est le même que dans la question 2.
Au moment de la nième injection , t =8(n-1). La quantité de médicament contenue dans le sang est :

Il s'agit de la somme de n termes d'une suite géométrique de raison ce qui donne :

[andalous]

merci beaucoup. Pour le II jai fé le 1) jai tenter dexpliker le 2) mais jarive pas vraiment a justifier! si vs pouvez maider merci davance

[becirj]

Exercice 2
2.a)Il n'y a pas grand chose à expliquer. N(t) est le nombre d'atomes présents à l'instant t ; au bout de la période T soit à l'instant (t+T) le nombre d'atomes a diminué de moitié donc N(t+T)=1/2 N(t).
b)On écrit l'égalité précédente avec le résultat obtenu pour N(t)






La question 3 ne me paraît pas très difficile.

[andalous]

merci jai tt reussi sauf le I 4) b) je narive pas a retrouver la reponse du 3) peut etre fau il simplement remplacer n par 3 et voir ke c superieur a 2.2A?!? vou pouvez maider merci

[becirj]

Une solution graphique n'est qu'approximative, le calcul me donne n>2,93 avec la calculatrice et 2,93 est aussi une valeur approchée.

[andalous]

ok mais koment on trouve 2.93 par le calcul? jaimerai savoir si on peut resoudre le probleme par u=le calcul

[becirj]

On résout l'inéquation
On peut simplifier par A et multiplier les 2 membres par



Ce qui donne en valeur approchée n>2,94
Donc on peur considérer que le médicament sera efficace au bout de 3 heures.