Problème d'optimisation (application des dérivées)

[Alexdel]

Bonjour
Bon comme c'est mon premier message sur ce forum je vais me présenter vite fait: Alex, 17 ans, je vis à Bruxelles et je suis en 5ème année en option math8h (équivalent à la première en France il me semble)

Je viens vers vous car j'ai coincé sur un problème d'optimisation; l'énoncé est le suivant:
Vous avez un triangle équilatéral ABC de côté 10 cm, à l'intérieur de ce triangle se trouve un rectangle MNPQ (MN appartient à BC, P appartient à AC et Q appartient à AB). On considère la distance MB=x. Trouver x pour que l'aire du rectangle MNPQ soit maximale.

J'ai donc commencé par trouvé la fonction Aire du rectangle, qui est A(x)=MN.QM
J'ai ensuite trouvé que MN=10-2x, et c'est là que je bloque; je n'arrive pas à trouver le moyen d'exprimer la distance QM en fonction de x.
J'ai créer un petit schéma du problème, si vous pouviez m'aider ou au moins me mettre sur la bonne voie, ce serait sympa :zen:

[Pseuda]

Vite fait : théorème de Thalès dans les triangles ABC et AQP, ce qui te permettra d'obtenir AQ, puis QB, puis théorème de Pythagore dans le triangle QMB.

[tototo]

Bonjour
Bon comme c'est mon premier message sur ce forum je vais me présenter vite fait: Alex, 17 ans, je vis à Bruxelles et je suis en 5ème année en option math8h (équivalent à la première en France il me semble)

Je viens vers vous car j'ai coincé sur un problème d'optimisation; l'énoncé est le suivant:
Vous avez un triangle équilatéral ABC de côté 10 cm, à l'intérieur de ce triangle se trouve un rectangle MNPQ (MN appartient à BC, P appartient à AC et Q appartient à AB). On considère la distance MB=x. Trouver x pour que l'aire du rectangle MNPQ soit maximale.

J'ai donc commencé par trouvé la fonction Aire du rectangle, qui est A(x)=MN.QM
J'ai ensuite trouvé que MN=10-2x, et c'est là que je bloque; je n'arrive pas à trouver le moyen d'exprimer la distance QM en fonction de x.
J'ai créer un petit schéma du problème, si vous pouviez m'aider ou au moins me mettre sur la bonne voie, ce serait sympa :zen:

Bonjour,

MN=10-2x
tan 60 degres =MQ/x=racine 3 -> MQ=x*racine3

Aire=(10-2x)*(x*racine3)=f(x)=10xracine3-2racine3x^2
f'(x)=10racine3-4racine3x=0 x=5/2 et f"(5/2)<0 donc f admet un maximum en 5/2.

[Alexdel]

Bonjour,

MN=10-2x
tan 60 degres =MQ/x=racine 3 -> MQ=x*racine3

Aire=(10-2x)*(x*racine3)=f(x)=10xracine3-2racine3x^2
f'(x)=10racine3-4racine3x=0 x=5/2 et f"(5/2)<0 donc f admet un maximum en 5/2.

J'ai trouvé la même réponse en utilisant thalès, mais merci pour ta réponse ta méthode est en effet un peu plus simple :p merci les potes en tout cas!

[zygomatique]

salut

on peut aussi introduire le milieu I du segment [BC]

on connaît BI et AI (grâce au théorème de Pythagore)

puis théorème de Thalès avec les triangles BAI et BMQ

....


:lol3: