Axiomes de la topologie

[toutatisse2008]

Bonsoir,

Je viens de découvrir la topologie en visionnant un exposé sur la cosmologie et les formes éventuelles de l'univers, formes supposées à partir de la topologie.
Avant que de me lancer dans l'étude de cette branche, j'aimerais bien écarter un gros doute: les axiomes posés sont-ils solides, si oui, pourriez-vous m'expliciter ce qui m'aurait échappé.

http://www.dailymotion.com/video/x1y6jg_luminet-partie-3_tech

Au cours de cette démonstration, nous partons d'un "morceau d'espace", qui n'est pas une portion de l'espace tri-dimensionnel (et encore moins 4D), mais bidimensionnel: ce "morceau d'espace" n'en est en fait pas un, il consiste en effet en une surface: c'est de la 2D.
En effet, dans ce "morceau d'espace" bidimensionnel ne sont considérées que deux axes: les axes {x, y}.

Le postulat posé est ainsi celui-ci: un "morceau d'espace" consistera, pour la suite du raisonnement, en un "espace euclidien"... qui n'est autre qu'un plan euclidien, ne considérant, pour tout objet, que ses coordonnées {x, y}.

Il y a ainsi une substitution entre ce en quoi consiste un plan euclidien (surface plane, 2D) censé représenter toute forme d'espace (1D, 2D, 3D, 4D, ...) et ces espaces eux-mêmes. Un espace bidimensionnel y est ainsi représenté par deux coordonnées {x, y}, un espace triple par {x, y, z}, ...

Mais cet "espace euclidien", qui n'en n'est en fait pas un, mais consiste juste à représenter l'espace de quelque dimension que ce soit, à partir... d'un plan (surface à... 2 dimensions), est ainsi assimilé à un espace en tant que tel: notre plan euclidien (2D) est ainsi assimilé à un espace (3D).
En rappelant que c'est en quoi consiste un plan euclidien: la chose euclidienne appuyant en effet son travail sur un plan, non sur un espace. La représentation euclidienne ne se fait ainsi pas dans un espace tridimensionnel, mais, sur un plan bidimensionnel.
L'espace, concernant la chose euclidienne, ne consiste en effet pas en ce qu'est "l'espace euclidien", mais en son objet d'étude. Nous avons ainsi un plan euclidien représentant des espaces sous quelque dimension que ce soit

Ainsi, ce plan bidimensionnel ne pourra être assimilé à l'univers lui-même mais à sa seule représentation. Si l'on tient à s'intéresser à l'univers en tant que lui-même (et non plus à une représentation bidimensionnelle), il sera nécessaire de lui assigner les dimensions qui le caractérisent, puisqu'en l'assimilant à un plan, on ne s'intéresse qu'à ses coordonnées {x, y}.

Car, au cours de cette démonstration, nous ne voyons pas la forme de l'univers (préalablement "applatisé" par la suppression de plusieurs de ses dimensions afin de n'en garder que deux) prendre une forme cylindrique, mais sa seule représentation.

Pour prendre un exemple, un point lumineux, au sein de cet "espace" (qui n'est qu'un plan), ne se déplace pas dans toutes les directions au sens spatial triple (3D donc), mais simplement sur deux dimensions: la propagation de la lumière n'est ainsi considérée que sur les axes {x, y}. La propagation n'est ainsi pas spatiale (triple) en tant que telle, mais plane.

Le problème vient ici de ce que l'on me semble assimiler espace dans son acception générale (qui peut être de quelque dimension que ce soit: une, double, triple, ...) à l'espace considéré en tant que dimension occupant un volume, l'acception usuelle dirons-nous. Au sein d'un espace triple, un plan n'est pas assimilé à un espace, mais à un plan uniquement.
C'est un "morceau d'espace" en tant qu'il appartient à cet espace, tout comme une ligne ou un point par exemple, mais il ne consiste pas en un espace en tant que tel: ce n'est pas quelque chose de triple en lui même, mais de double: il se déploie sur deux axes, {x, y}, le troisième {z} étant unique (de déploiement nul).

Ensuite, il est parti de ce plan, pour en faire un cylindre, ce qui ne me semble pas avoir de sens!
On part en effet d'une représentation de quelque chose pour en faire une représentation cylindrique.

Qu'est-ce que le cylindre d'un plan (ou plan cylindrique) au sein d'un espace?


Par ailleurs, cette démonstration me semble oublier un détail pourtant majeur:
ce plan euclidien (la surface plane, point de départ) est censée représenter l'univers dans sa globalité (sous toutes ses dimensions).
Inutile de préciser qu'au sein de "toutes ses dimensions" se trouve la troisième, incarnée par l'axe Z. Cet axe Z lui est interne, pas externe (puisque nous avons affaire à un univers complet, il ne s'inscrit dans aucune dimension supérieure, toutes les dimensions sont comprises en lui).

Ainsi, je ne vois pas comment l'on pourrait "déformer" ce plan, puisque, pour ce faire... on doit s'appuyer sur une réalité plus générale: le monde tel qu'il est réellement. En effet, pour faire de ce plan euclidien plat quelque chose de cylindrique, on ne s'appuie par sur lui-même (sur ce plan cylindrique censé incarner l'univers avec toutes ses dimensions) mais sur une vérité plus générale: le monde 3D, dans lequel l'orateur s'inscrit.

-> Nous voyons ainsi que cet univers s'inscrit dans une réalité comprenant une dimension de plus que lui (puisque lui-même n'en comprend que 2, alors que pour le "tordre", il en faut au moins 3!).

:mur:

[Dominique Lefebvre]

Bonsoir,
Je n'ai rien compris! Où veux-tu en venir? Le titre était pourtant prometteur, sans parler de l'introduction qui parlait de topologie et de cosmologie... Mais la suite par contre!
Juste une précision: quel est ton niveau en math et en physique pour te "lancer dans l'étude de cette branche" selon ta propre expression?

[toutatisse2008]

Niveau bac.

Sinon le propos est simple: il me semble impossible de faire advenir un univers plat en un cylindre par une manipulation, fût-elle conceptuelle, car pour ce faire, l'observateur doit se trouver dans une réalité physique plus générale que l'univers qu'il prétend moduler.

Vous avez:
- l'univers, censé être plat à la base
- si vous voulez le déformer, vous ne pouvez le faire qu'à partir de lui-même (de la 2D), car la troisième dimension n'est pas censée exister
- or c'est ce qu'oublie l'orateur: pour la tordre, il se place lui-même dans une réalité tridimensionnelle: lui se trouve dans un espace 3D

[miikou]

il n'y a pas de contradiction entre la 2 iem et la 3 iem proposition ..
c'est un espace a 3 dimension, mais c'est un espace mathematique :)

[toutatisse2008]

Vous ne semblez pas répondre au point que je soulève.

Vous avez:

1) soit l'univers, espace physique en 2D
-> aucune dimension supplémentaire n'est censée exister
-> impossibilité de le faire devenir cylindrique

2) soit une représentation de cet univers, une conceptualisation
-> rendre cylindrique une représentation est tout simplement un non-sens

[miikou]

pour votre information, la surface d'un cylindre est un espace de dimension 2 ...

[toutatisse2008]

Merci pour cette information.
Mais ne part-elle pas d'un présupposé: la topologie possède des axiomes valides, ce qui me semble le sujet de ce topic?

Ce qui veut dire: si l'on peut "tordre" une surface plane, et la rendre cylindrique, à partir d'un espace de dimension 2, alors le cylindre est une figure de dimension 2. Or ce n'est pas le cas.

[miikou]

le fait est que la dimension de la surface d'un cylindre est 2, et cela n'a aucun rapport avec la topologie ..

[toutatisse2008]

Sur quoi cela s'appuie-t-il dans ce cas?

[miikou]

pour faire simple, c'est le nombre minimum " d'informations" qu'il faut pour caracteriser un point de la surface.
ici exemple la hauteur et un angle orienté.
sinon pour vous en persuader prenez l'exemple de la surface de la terre ( cest pareil, biensur la topologie n'y est pas pour rien, avec des transformations continues vous imaginez tres bien ) qui comme vous le savez est bien de dimension 2 ( puisque la 3 iem est la hauteur )
désolé si je suis un peu simpliste quant a l'explication mais c'est dans un souci de claireté

[nanina-dono]

Bonsoir ,

je viens de découvrir ce forum , et je me suis inscrite rien que pour te répondre .je ne comprend pas bien ta question , et c'est vrai j'ai pas encore vu cette vidéo , mais si la question est : si les axiomes de la topologie sont bien solide ? et bien si ça ne l'été pas tous les mathématiciens du monde vont être en chômage :cry:

apparemment tu as le niveau bac , tu peux commencer à l'étudier et même seul , mais pour pouvoir faire le lien avec la physique par exemple ; il faut bosser et pas un peu :zen:

[toutatisse2008]

note:
- les petits plaisantins sont invités à ne pas polluer ce topic
- nous sommes ici sur un forum de mathématique. Pas dans le coin bavardages.
Le problème posé semble clair, je vous demande donc d'éviter d'y inclure des propos n'y référant pas. :hum:

[Dominique Lefebvre]

note:
- les petits plaisantins sont invités à ne pas polluer ce topic
- nous sommes ici sur un forum de mathématique. Pas dans le coin bavardages.
Le problème posé semble clair, je vous demande donc d'éviter d'y inclure des propos n'y référant pas. :hum:

Bonjour,
pour une fois, je vais une réponse de modérateur et de physicien, car il se trouve que la topologie est ma tasse de thé en physique...

Premièrement, je ne vois ni plaisantin ni pollueur dans cette discussion. Peux-tu éclairer ma lanterne?

Ensuite, non, le problème posé ne me semble pas clair du tout, mais alors pas du tout...
Avant de te lancer dans un discours sur la topologie de l'espace (il serait préférable de parler d'univers car les terme espace est ambigüe), tu devrais peut-être partir des fondements de la topologie, commencer par le commencement, bâtir les fondations que tu n'as pas au niveau du bac. Par exemple, savoir définir ce qu'est un espace topologique et quelles sont les opérations que l'on défini sur cet espace.
Sais-tu par exemple, comme il a été dit, que si tu rapproches les bords d'un espace plan en les "soudant" - ce qui est une opération topologique- alors tu obtiens une surface ( on dit "variété" en topologie) de dimension 2, pas 3.

On ne pourra pas voir de discussion sérieuse, même informelle, sur les topologies de l'univers, sans que tu possèdes les fondements de la topologie. Il te reste du boulot avant que de discuter ses axiomes!
Si le sujet des topologies de l'univers t'intéresse, je te recommande vivement de lire "L'univers chiffonné" de JP Luminet. Ce livre est en bonne partie accessible à un bachelier S qui s'accroche et il est une bonne vulgarisation du sujet.

[toutatisse2008]

Bonjour,

1) Je pense avoir compris ce qui est expliqué lors de l'exposé: une surface reste une surface, un plan reste un plan, un espace de dimension 2 reste un espace de dimension 2.

2) La question n'est pas de savoir si ce plan devient de dimension 3.

3) La question est: ce plan de dimension 2 a besoin d'un support de dimension 3 pour se déployer.

4) En effet vous ne pouvez obtenir un cylindre à partir d'un plan plat, mais seulement à partir d'un espace de dimension 3.

5) Il me semble y avoir confusion entre ce qu'est la vérité géométrique du plan (= support de travail, par définition figé) et ce qu'il est censé étudier (= tout espace, de quelque dimension que ce soit: D1, D2, D3, D4, ...).

6) Je réitère donc ma question:
Peut-on tordre une surface plane à partir d'un espace de dimension 2?

Evite le gras souligné, on a vu ta question !

[Dominique Lefebvre]

Bonjour,

1) Je pense avoir compris ce qui est expliqué lors de l'exposé: une surface reste une surface, un plan reste un plan, un espace de dimension 2 reste un espace de dimension 2.

En topologie, une surface n'est pas toujours de dimension 2, un plan non plus!
Si l'on en reste à l'espace euclidien , plan =surface = sous-espace vectoriel de dimension 2.

2) La question n'est pas de savoir si ce plan devient de dimension 3.

????

3) La question est: ce plan de dimension 2 a besoin d'un support de dimension 3 pour se déployer.

Je ne sais pas ce que "déployer" signifie dans ce contexte. En topologie, une variété de dimension 2 (une 2-variété) n'a pas besoin d'un quelconque autre "espace" pour exister!

4) En effet vous ne pouvez obtenir un cylindre à partir d'un plan plat, mais seulement à partir d'un espace de dimension 3.

Mais non, absolument pas! le fait de "souder" les deux bords d'un plan n'implique pas l'existence d'un espace de dimension supérieure.

5) Il me semble y avoir confusion entre ce qu'est la vérité géométrique du plan (= support de travail, par définition figé) et ce qu'il est censé étudier (= tout espace, de quelque dimension que ce soit: D1, D2, D3, D4, ...).

Qui ferait cette confusion? Qu'est-ce que pourrait bien être "la vérité géométrique du plan"?

6) Je réitère donc ma question:
Peut-on tordre une surface plane à partir d'un espace de dimension 2?

QUe signifie "tordre" une surface ? C'est important car les opérations topologiques subissent quelques contraintes, que tu ferais bien d'intégrer..
En principe et en schématisant à outrance, on peut faire subir n'importe quelle opération à une surface (2-variété) à condition de ne pas créer une discontinuité (un trou, un point de rebroussement, etc...). Et donc on peut bien la tordre dans tous les sens, l'étirer, la contracter, etc... Et c'est vrai pour n'importe quelle variété.

[toutatisse2008]

Enfin soit c'est un peu le serpent qui se mord la queue...
Toutatisse: la topologie possède-t-elle des axiomes solides? De quoi part-elle?
Objecteur: oui, parce que la topologie le dit
Toutatisse: d'accord, mais elle-même ne se base que sur ces mêmes axiomes, ce que je m'efforce d'étudier
Objecteur: de toutes façons les axiomes de la topologie sont bons puisqu'elle le dit
...

1) Si vous pouviez, s'il-vous-plaît, me dire sur quoi se base ce domaine qu'est la topologie
2) Me dire ce que signifie: un cylindre au sein d'un espace de dimension 2 (car un cylindre ne nécessite pas deux paramètre pour être défini, mais 3: x, y, ... et sa génératrice zz'. Sans ce troisième paramètre qu'est l'axe, bienheureux celui qui pourra me tracer un cylindre! Il ne pourra se faire qu'un cercle).

[miikou]

Bonjour,
j'ai lu ce que dominique vous a expliqué, et j'imagine qu'il sait de quoi il parle :++:
peut etre que ce qui vous trouble est l'exposé dans la video, c'est de la vulgarisation .. Pourtant il souligne bien le fait que si vous vous trouviez sur la surface du cylindre se serait pour vous un espace a 2 dimensions!

1°) je vous invite a lire des articles relatifs a la topologie; il existe une BD de vulgarisation parfaite pour une premiere approche ( qui vous suffira je pense pour comprendre votre probleme )

2°) oui un cylindre en tant que tel est bien de dimension 3,mintenant on ne s'interesse uniquement a sa surface, laquelle est de dimension 2 .
Dominique vous l'a fait remarquer : dans l'espace euclidien plan=surface= sous espace vectoriel de dimension 2. ( " un petit bout d'espace euclidien " c'est ce qui est precisé dans la video )

vous pouvez vous renseigner sur la notion d'espace vectorielle

[miikou]

pour la BD c'est ici >>http://www.maths-forum.com/theoreme-perroquet-topologicon-t25338/

[toutatisse2008]

Pourtant il souligne bien le fait que si vous vous trouviez sur la surface du cylindre se serait pour vous un espace a 2 dimensions!

Je vais reprendre textuellement ce qui y est dit:
#1 "La topologie nous dit qu'avec cet espace-là, on peut faire un autre espace, qui va ressembler tout à fait à celui-là sur une petite échelle, par exemple à l'échelle de la Terre. Mais à l'échelle globale il change complètement, vous en faites un cylindre."
#2 "Mais si vous étiez un astronome fourmi, c'est-à-dire plat, à la surface de ce cylindre; à première vue vous penseriez que vous vivez dans un plan, parce que le cylindre n'a pas de courbure."

C'est toujours le même topo. Si je pars du postulat que les axiomes sont valides, alors je dis amen à tout ce qui est dit.
Mais:
- En #1: il est bien souligné que le changement d'apparence n'est pas dû à une quelconque courbure, mais au caractère "d'échelle" sous lesquelles les choses sont observées. Nous observons le même phénomène à la surface de la terre à petite échelle: elle nous semble plate, non pas parce qu'elle est plane, mais parce que l'observateur se trouve à une échelle trop faible.
- En #2: "si vous étiez un astronome fourmi, c'est-à-dire plat"... je n'ai jamais vu d'astronome plat.
Fourmi signifie non pas plat en l'occurence, mais petit. Bien évidemment, si je suis plat, l'univers l'est aussi, mais il part de la conclusion (que je suis plat, donc que l'univers est plat), pour en inférer qu'il est plat...
Toujours ce serpent acariâtre...

oui un cylindre en tant que tel est bien de dimension 3,mintenant on ne s'interesse uniquement a sa surface, laquelle est de dimension 2 .
Dominique vous l'a fait remarquer : dans l'espace euclidien plan=surface= sous espace vectoriel de dimension 2. ( " un petit bout d'espace euclidien " c'est ce qui est precisé dans la video )

Vous venez d'admettre qu'un cylindre était de dimension 3; tout est dit...

Juste une parenthèse: une surface est toujours de dimension 2 à ce qu'il me semble, l'on n'apprend rien en disant que celle du cylindre l'est aussi, et certainement pas qu'il consisterait en quelconque figure plate.
La surface d'une sphère est de dimension 2, pourtant sa surface est courbe, non pas plate.

Nous ne nous intéressons pas ici à la surface du cylindre, mais au cylindre lui-même, dans toute sa vérité géométrique. On peut aussi me dire qu'il comporte des lignes et des points, cela ne m'avancera guère sur sa propre dimension, courbure ou platitude.



D'ailleurs, un point concernant la définition du cylindre:
Il est considéré tantôt comme une surface, tantôt comme un volume.
Mais qu'en est-il vraiment?
Pour tenter d'y répondre, il me semble nécessaire de faire un petit tour du côté des limites de figures géométriques.

Comme vous le savez, toute figure géométrique possède une limite; nous distinguons ainsi la figure géométrique de sa limite.
- Pour la ligne, par exemple, la limite consiste en deux points, infiniment éloignés.
Par contre, sa vérité géométrique est l'ensemble des points se trouvant entre ces deux extrêmes, auxquels on ajoute bien entendu les deux points limites.
- Pour le carré, sa limite consiste en les 4 segments de longueur égale le délimitant.
Sa vérité étant l'étendue bornée par ces segments, de surface S = a²
- Pour le cercle, la limite est la courbe, la vérité répondant à S = pi.r²
- Mais pour le cylindre?
a) Si l'on prend le cylindre en tant que volume: sa limite consiste en sa surface; il est délimité par la figure répondant à S = base. h, avec S = pi.r².h dans le cas d'un cylindre de révolution, de coordonnées x² + y² = r²
b) Si l'on prend le cylindre en tant que surface? Il ne peut être limité que par une figure de dimension 1 (comme toute surface de dimension 2): courbe, segments ou amalgame de cela. Or il est impossible de délimiter un cylindre de dimension 2 (cylindre-surface) par ce biais. Le cylindre-surface est donc une figure géométrique vérité-limite; chose qui ne se peut que pour une figure géométrique: le point. Cela prouve de manière définitive il me semble que le cylindre ne peut, en tant que vérité géométrique, consister en une surface.

[Dominique Lefebvre]

Bon, cette discussion part en vrille....

La topologie(algébrique ou différentielle) est bâtie sur un système formel d'axiomes, que l'on accepte tels quels, parce que c'est le principe d'un systèmes d'axiomes! Si tn n'es pas d'accord, tu bâtis ton système formel et une autre topologie.
Si tu les acceptes, tu les apprends, tu les comprends puis tu les utilises! Et surtout tu ne mets pas la charrue avant les boeufs en essayant de discuter de la topologie de l'univers sans savoir un seul de mot de topologie (c'est une image, bien sur!).

Donc, je vais fermer cette discussion qui ressemble à une bande de Möbius (dont tu pourras étudier la structure topologique). Tu pourras revenir discuter de la chose (la topologie de l'univers) lorsque tu auras absorbé les fondements de la topologie.
A cette fin, je t'encourage à étudier le cours de Queffélec ou de Choquet, par exemple. Ce sont les cours minima, de L3.... Avant, éclaire toi sur la géométrie différentielle, ça peut servir.
Bref, tu as du pain sur la planche pour tes vacances :-))