Démontrer 100=9×11+1 et 10=11-1 avec les axiomes de Peano

[G.Alex-713]

Bonjour, je suis collégien(3e), et suite à un DM demandant vérifier 100=9×11+1 et 10=11-1, j'ai eu envie de non seulement le vérifier mais aussi le démontrer, je pense que c'est possible avec les axiomes de Peano et plus particulièrement grace à pour le premier cas, mais je ne trouve pas la bonne syntaxe de démonstration, ni l'axiome correspondant au deuxième cas, et je ne veux pas passer tt un après-midi à me casser la tête pour ça alors que j'ai un DM à finir, c'est pourquoi je post içi pour un peu d'aide, merci d'avance.

PS: je poste dans cette section parce que je crois que c'est la plus adaptée, mais je peux me tromper, si les axiomes de Peano sont plutôt niveau lycée alors merci à un administrateur ou modérateur de déplacer le sujet dans cette section

[G.Alex-713]

Up !
mon DM a été rendu, mais j'aimerais bien connaitre la réponse, ne serais-ce que pour le culture générale en démonstration.

[Le_chat]

Le truc c'est que tu peux évidemment démontrer toute l'arithmétique élémentaire avec les axiomes de Peano, comme ton exercice par exercice. Cependant, ça devient vite extrêmement lourd, et extrêmement confus, avec des "s" partout.

Les axiomes de Peano sont utiles lorsqu'il s'agit de montrer que lorsque l'on fait de l'arithmétique, on a des règles claires et consistantes, on ne compte pas juste des pommes.

[ED102]

les axiomes de Peano

Woauh, les programmes du collège on dut vachement changé, car on ne m'a jamais parlé d'axiome et encore moins d'axiomes de Peano.

[beagle]

question aux profs de maths;
c'est quoi ,pour un élève de troisième, vérifier que 10=11-1??????

parce que le type qui vérifie tous les 5 mn que le gaz est bien fermé,
c'est comme celui qui se lave 147 fois les mains par jour,
cela soigne,
mais cela relève du médical.

[G.Alex-713]

nan, le programme veut pas qu'on le démontre, c'est moi qui suit légèrement plus autodidacte que la normale, et sinon si le prof voulait qu'on vérifie ça c'était parce que la ligne d'après il y avait marqué "En déduire que..." et l'exo était su les critère de divisibilité par 11

[beagle]

et comment on vérifie que 10=11-1??

[Skullkid]

Salut, comme l'a dit Le_chat, les seules démonstrations qu'on fait en utilisant les axiomes de Péano, ce sont les démonstrations de "bas niveau", celles qui servent à construire les objets élémentaires comme les 4 opérations.

Il faut aussi comprendre comment sont définis les entiers en eux-mêmes, puisque les axiomes de Péano ne parlent que de 0, la définition de l'addition nécessite de définir 1 comme étant le successeur de 0. Une fois qu'on a bien défini les opérations (y compris la puissance), on peut donner un nom à chaque entier : on appelle 2 le successeur de 1, 3 le successeur de 2, ... , 9 le successeur de 8 et 10 le successeur de 9. À partir de là, on définit proprement tous les nombres à plusieurs chiffres comme étant des sommes de produits d'entiers entre 1 et 10 (ça s'appelle la numérotation en base 10, il y a d'autres façons de faire). Par exemple, 11 est par définition égal à 10+1, donc ton égalité 10 = 11-1 n'est rien d'autre qu'une réécriture de cette définition en utilisant les propriétés de l'addition et de la soustraction.

Pour 100 = 9*11+1 c'est un peu plus compliqué. On peut partir de la définition de 100, qui est 10*10. Puis, en utilisant les propriétés des 4 opérations :

100 = 10*10 = (9+1)*10 = 9*10 + 10 = 9*10 + 9 + 1 = 9*(10+1) + 1 = 9*11 + 1

Mais bon tu ne verras sans doute jamais ce genre de démonstration, puisqu'elles n'ont pas grand intérêt.