Valeurs d'adhérences

[legeniedesalpages]

Bonjour,

je bloque sur cette question:

Soit définie par .

1. Montrer que est ouverte.

Je regarde pour les intervalles ouverts. Comme est -périodique, l'image par d'un intervalle de longueur est qui est ouvert.

Pour les intervalles ouverts tels que , je ne vois pas comment faire pour montrer que est ouvert.

Merci pour votre aide.

[mathelot]

Soit définie par .

1. Montrer que est ouverte.

La dérivée ne s'annule jamais. f se comporte localement comme
, elle donc localement ouverte donc ouverte
(il me semble que c'est le thm de l'application ouverte ou une conséquence du thm des fonction implicites ?)

bon, en fait , je ne trouve pas le théorème.
Voilà une démo possible en mettant les mains dans le cambouis:

par exemple , pour une valeur réelle qui correspond à un point du demi-cercle supérieur, f est localement un difféomorphisme
la constante K dépendant de

On peut recouvrir le cercle unité par un atlas, constitué d'un recouvrement par 4 demi-cercles où localement f est un difféomorphisme
que l'on inverse avec les fonctions arcsin et arccos et des constantes.

[ThSQ]

Tu peux le faire "à la main" car tu peux mettre en correspondance localement et de manière homéomorphe un petit bout de et un petit bout de IR.

Sinon une solution qui se la pète :


avec dans l'ordre la projection canonique (donc ouverte) et un homéomorphisme classique (donc ouvert aussi).

[legeniedesalpages]

ok je vais regarder ça plus en profondeur, je ne suis pas encore bien à l'aise avec la notion de topologie quotient et de difféomorphisme local.

En tout cas merci pour vos réponses :)

[legeniedesalpages]

j'ai du mal à voir pourquoi une projection canonique est ouverte :briques:

[legeniedesalpages]

:help: :help: :help:

[tize]

Bonjour,
il me semble que ça n'est pas systématiquement le cas mais ça marche si la relation d'équivalence peut se définir par un groupe qui agit par homéomorphisme...
Ici le groupe est 2piZ et chaque élément du groupe définit un homéomorphisme sur R (la translation).
Sinon tu peux le faire directement :
Si O est un ouvert de R alors p(O) est ouvert ssi p^-1(p(O)) est ouvert or donc...

[ThSQ]

Bonjour,
il me semble que ça n'est pas systématiquement le cas mais ça marche si la relation d'équivalence peut se définir par un groupe qui agit par homéomorphisme...
Ici le groupe est 2piZ et chaque élément du groupe définit un homéomorphisme sur R (la translation).
Sinon tu peux le faire directement :
Si O est un ouvert de R alors p(O) est ouvert ssi p^-1(p(O)) est ouvert or donc...

Tize a tout dit. Effectivement la proj cano. n'est pas toujours ouverte mais là oui.

[legeniedesalpages]

Bonsoir Tize et ThSQ,

je ne vois pas comment montrer que ces deux espaces sont homéomorphes? :briques:

[tize]

Salut,
par définition de la projection canonique, pour x dans R, p(x)={x+k2pi ; k dans Z} est la classe de x donc P(O)...

[legeniedesalpages]

Salut,
par définition de la projection canonique, pour x dans R, p(x)={x+k2pi ; k dans Z} est la classe de x donc P(O)...

et c'est une partie de tandis que est une partie de .

Comment le fait que soit ouvert dans entraîne que soit ouvert dans ? :marteau:

[tize]

Salut,
pour moi cela revient un peu à couper des cheveux en quatre...
déjà et ce sont les mêmes ensembles et on peut les voir ici comme une partie de R/2piZ ou alors une partie de R cela ne pose pas de problèmes puisque les éléments de R/2piZ sont des classes et une classe est une partie (sous ensemble) de R.
Ensuite donc qui est un ouvert donc par définition de la topo quotient p(O) est un ouvert donc p est ouverte.

[legeniedesalpages]

Merci Tize, c'est beaucoup plus clair maintenant. :)

[ThSQ]

Tiens je songeais à ce pb cet aprèm, la projection canonique est ouverte mais elle est pas fermée. Marrant.

[legeniedesalpages]

Bonjour, je bloque sur la suite de cet exo, je rappelle le début de l'énoncé:

Soit un nombre réel, on pose . Soit l'application de dans définie par .

1. Montrer que l'image d'un ouvert de par est un ouvert de .

2. Montrer que est un sous-groupe additif de . Montrer que .

3. On suppose que n'est pas dense dans .

(a) Montrer qu'il existe un voisinage de tel que .
En déduire qu'il existe un voisinage de tel que .

(b) En déduire que pour tout , il existe un voisinage de tel que .

(c) En déduire que est fini ssi .


Je bloque à partir de la 3) (a), je ne vois pas comment déduire qu'il existe un voisinage de tel que .

Merci pour votre aide.

[aviateurpilot]

3)a)
soit
on suppose que
on a et
et on a ==>
mant pour on prend tel que et .
on a et ==> dense (impossible)
donc
et on prend
___________________
b)
___________________
si est fini alors
donc ===>
==>
l'autre implication......evidente

[legeniedesalpages]

Bonsoir Aviateurpilot,

pour la 3)a) à la fin, je suis ok que

,

mais comment tu vois que ?

[Matthieu Lochot]

Bonjour,

je bloque sur cette question:

Soit définie par .

1. Montrer que est ouverte.

Je regarde pour les intervalles ouverts. Comme est -périodique, l'image par d'un intervalle de longueur est qui est ouvert.

Pour les intervalles ouverts tels que , je ne vois pas comment faire pour montrer que est ouvert.

Merci pour votre aide.

Salut,

C'est quoi une "application ouverte" ?

[legeniedesalpages]

Bonjour,

c'est une application telle que l'image d'un ouvert est un ouvert.

[Matthieu Lochot]

Bonjour,

c'est une application telle que l'image d'un ouvert est un ouvert.

Donc f:IR -> S1 définie par f(t) = exp(it).

Soit U un ouvert de IR.

Montrons que f(U) est un ouvert de S1.

Soit y élément de f(U). Montrons qu'il existe eps>0, pour tout y' élément de S1, |y'-y| 0, ]x-µ,x+µ[ inclus dans U.
On peut choisir µ <= Pi/3 sans changer le résultat.

On note I = ]x-µ,x+µ[.

Comme I inclus dans U, alors f(I) inclus dans f(U).
Posons eps = |y(1-exp(iµ)|.
Soit y' élément de S1.
Comme y' est élément de S1, il existe t élément de IR, y' = exp(it) = f(t).
Si |y'-y|< eps, alors
|exp(it)-exp(ix)| < |exp(ix)(1-exp(iµ))|
|exp(ix)||1-exp(i(t-x))| < |exp(ix)||1-exp(iµ)|
|1-exp(i(t-x))| < |1-exp(iµ)|
|exp(i(t-x)/2)(exp(-i(t-x)/2)-exp(i(t-x)/2))| < |exp(iµ/2)(exp(-iµ/2)-exp(iµ/2))|
donc |sin((t-x)/2)| < |sin(µ/2)|
donc sin|(t-x)/2| < sin|µ/2|
Comme µ <= Pi/3 alors
|t-x| < µ
donc t est élément de I, et f(t)=y' est élément de f(I).
Or f(I) inclus dans f(U), donc y' est élément de f(U).

Ce qui termine la démonstration.