Valeurs d'adhérences

par **Lemniscate** » 28 Jan 2009, 20:49

Bonjour,

Alors en fait je n'ai pas vraiment de question, mais je voulais vous faire partager des résultats qui m'ont beaucoup plu !

J'ai démontré dans un exercice que si une suite

de réels est telle que :
_ 0 soit la plus petite valeur d'adhérence (v.a.) de

.
_ 1 soit la plus grande v.a. de

.
_

quand

.

Alors l'ensemble des valeurs d'adhérence de

est le segment [0,1] tout entier.

a donc une infinité non dénombrable de v.a. !!! (résultat qui peut choquer de prime abord !).

J'ai essayé de construire une telle suite :
En gros je prends

etc.

En fait la suite "monte" vers 1 et "descend" vers 0 avec un pas qui vaut successivement 1,

,

, ...,

,...
Voila une suite qui vérifie les bonnes hypothèses.

J'ai voulu ensuite construire une suite qui ait un nombre infini dénombrable de v.a.

J'ai alors construit :

telle que

="nombre premier le plus petit figurant dans la décomposition (unique) en puissances de facteurs premiers de n".
Je ne l'ai pas montré mais

a ainsi son ensemble de v.a. constitué par P={nombres premiers de

}.

P est infini dénombrable car infini inclus dans

, lui même dénombrable.

Au fait pourriez vous me rappeler une démo élémentaire pour montrer que P est infini ? Je suis sûr de l'avoir déjà vue mais pas moyen de m'en rappeler...

A bientôt.

par **Joker62** » 28 Jan 2009, 21:11

Résultat bien plus surprenant :^)

Si on a une suite dans R^n tel que la limite || x_(n+1) - x_n || tend vers 0
Alors l'ensemble des valeurs d'adhérence est connexe.

:p
La démonstration pour n = 1 est assez facile

Pour montrer que l'ensemble des nombres premier est fini, on le suppose fini ( pardon Léon ) on note x1, ..., xn ses éléments on pose Y ! x1.x2....xn + 1 et on montre qu'il est premier

par **SimonB** » 28 Jan 2009, 21:11

Lemniscate a écrit:Voila une suite qui vérifie les bonnes hypothèses.

Pour une suite qui a le même intervalle de v.a. (même si les hypothèses de ton théorème ne sont pas vérifiées), on peut prendre

(et même

mais c'est moins simple à démontrer).

Au fait pourriez vous me rappeler une démo élémentaire pour montrer que P est infini ? Je suis sûr de l'avoir déjà vue mais pas moyen de m'en rappeler...

La démonstration originelle d'Euclide : si P est fini, alors P={

} (rangés dans l'ordre croissant). Soit alors

. N a un reste de 1 dans la division euclidienne par n'importe lequel des

. Il n'est donc divisible par aucun et est donc premier. Mais d'autre part il est plus grand que

et c'est absurde.

par **Nightmare** » 28 Jan 2009, 21:16

Salut Joker :happy3:

Oui c'est un beau résultat, la démonstration l'est encore plus d'ailleurs :lol3:

Tiens, tu connais un contre exemple dans le cas où on est dans

par exemple? J'en ai un mais très archaïque ...

par **leon1789** » 28 Jan 2009, 21:17

Lemniscate a écrit:P est infini dénombrable car infini inclus dans , lui même dénombrable.

Au fait pourriez vous me rappeler une démo élémentaire pour montrer que P est infini ? Je suis sûr de l'avoir déjà vue mais pas moyen de m'en rappeler...

oui , l'exemple 2 de
http://www.maths-forum.com/showpost.php?p=320267&postcount=30

par **leon1789** » 28 Jan 2009, 21:18

Joker62 a écrit:Pour montrer que l'ensemble des nombres premier est fini, on le suppose fini ( pardon Léon ) on note x1, ..., xn ses éléments on pose Y ! x1.x2....xn + 1 et on montre qu'il est premier

Je ne dirais rien : je l'ai déjà fait :zen:
exemple 2 de http://www.maths-forum.com/showpost.php?p=320267&postcount=30

par **leon1789** » 28 Jan 2009, 21:20

Bon, ben je manque à ma parole :triste:

SimonB a écrit:La démonstration originelle d'Euclide : si P est fini, alors P={} (rangés dans l'ordre croissant). Soit alors . N a un reste de 1 dans la division euclidienne par n'importe lequel des . Il n'est donc divisible par aucun et est donc premier. Mais d'autre part il est plus grand que et c'est absurde.

Non pas absurde, car cela donne un nouveau nombre premier ! (ie le plus petit diviseur >1 de N)

par **Joker62** » 28 Jan 2009, 21:23

Personnellement, je sais faire la preuve pour n=1, mais je l'ai jamais essayé dans R^n...
Pour les suites à valeurs dans C, encore plus chaud lol.
Je ne vois aucun contre-exemple.
Pour C, il me semble qu'en rajoutant une hypothèse (que j'ai zappé) ça marche encore...

par **yos** » 28 Jan 2009, 21:24

Joker62 a écrit:Si on a une suite dans R^n tel que la limite || x_(n+1) - x_n || tend vers 0
Alors l'ensemble des valeurs d'adhérence est connexe.

Bornée la suite. (inutile pour n=1).

par **Joker62** » 28 Jan 2009, 21:27

Je me rappelle qu'il y avait un post exclusivement réservé à ça mais je ne sais plus de qui ça vient :)
Merci pour l'info supplémentaire Yos
Pourquoi elle est inutile dans R ?

par **Nightmare** » 28 Jan 2009, 21:47

Ca marche pareil dans R^n et dans n'importe quel espace métrique compact en fait.

Pour le contre exemple dans C, on prend un genre de suite qui parcourt 1/|x| en faisant des sauts de branche en branche lorsqu'on arrive près et de 0.

:happy3:

par **leon1789** » 28 Jan 2009, 22:06

SimonB a écrit:La démonstration originelle d'Euclide : si P est fini, alors P={} (rangés dans l'ordre croissant). Soit alors . N a un reste de 1 dans la division euclidienne par n'importe lequel des . Il n'est donc divisible par aucun et est donc premier. Mais d'autre part il est plus grand que et c'est absurde.

Est-ce que tu es certain que c'est la preuve originelle ?
Euclide n'aurait-il pas prouver l'infinité potentielle de P ?
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Euclide_sur_les_nombres_premiers
c'est à dire quelque chose de pas absurde du tout ... :hum:

Joker62 a écrit:Pour montrer que l'ensemble des nombres premier est fini, on le suppose fini ( pardon Léon ) on note x1, ..., xn ses éléments on pose Y ! x1.x2....xn + 1 et on montre qu'il est premier

Quand même, vous vous compliquez la vie à (ne pas) rédiger des trucs aussi longs !
P n'est pas majoré car pour tout

, le plus petit diviseur >1 de n!+1 est un nombre premier >n

par **yos** » 28 Jan 2009, 22:56

Joker62 a écrit:Pourquoi elle est inutile dans R ?

Pour aller d'une v.a.

à une v.a.

dans R, il n'y a qu'un chemin que la suite parcourt avec des pas de plus en plus petit, faisant ainsi de chaque réel entre a et b une v.a.
Il n'en va pas de même dans R² où la suite peut emprunter des chemins différents : des ponts de plus en plus haut reliant a et b.

par **Nightmare** » 28 Jan 2009, 22:57

Pfff, quelle preuve compliquée !

Pourquoi ne pas simplement écrire que :

On munie

de la topologie où les ouverts sont les

où

est une suite arithmétique quelconque.

Alors

L'ensemble de gauche n'est pas fermé, si l'ensemble des nombres premiers était fini, celui de droite le serait ! Contradiction

:lol3:

PS : Il est évident que la première phrase et le caractère extrêmement prétentieux qu'elle confère à ce poste n'est qu'une joke !

par **yos** » 28 Jan 2009, 23:08

Nightmare a écrit:On munie de la topologie où les ouverts sont les où est une suite arithmétique quelconque.

C'est pas les fermés?

par **Nightmare** » 28 Jan 2009, 23:31

Non ce sont bien les ouverts ! Cependant, ce sont aussi des fermés !

par **kazeriahm** » 28 Jan 2009, 23:52

C'est marrant comme preuve, j'avais jamais vu. Choquant d'ailleurs qu'un argument topologique puisse prouver un résultat d'arithmétique non ?

par **Joker62** » 29 Jan 2009, 01:01

On regarde quand même plus l'aspect ensembliste qu'arithmétique non ?
Enfin sinon ça peut paraître choquant aussi la preuve d' Euler avec son produit infini ?

Mais bon de toute manière relier deux branches des Mathématiques j'trouve ça mignon :p

Donc oui jolie preuve ;)

par **Doraki** » 29 Jan 2009, 01:14

C'est marrant ouais.
Toute l'arithmétique est cachée dans :
- pZ est fermé en plus d'être ouvert
- l'intersection de 2 ouverts est ouvert
- tout ouvert non vide est infini

par **leon1789** » 29 Jan 2009, 07:46

Nightmare a écrit::lol3:

PS : Il est évident que la première phrase et le caractère extrêmement prétentieux qu'elle confère à ce poste n'est qu'une joke !

:ptdr:

Pas mal cette démo !

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