Détermination des valeurs propres d'une matrice 3*3

par **Artofacto** » 28 Aoû 2010, 00:27

Bonjour le forum,

J'ai un petit problème de compréhension qui va peut-être paraître un peu basique en algèbre linéaire:
Je cherche à déterminer les valeurs propres d'une matrice symétrique 3*3 pour exemple:
(2 1 1)
(1 4 1)
(1 1 2)

Je voudrais donc savoir comment calculer le polynôme caractéristique qui me permettra de les connaître.
Aidez-moi je vous en supplie,
Je suis en train de devenir fou! :ptdr:

par **fatal_error** » 28 Aoû 2010, 00:36

salut,

pour les valeurs propres vp,
tu cherches
det(A-lambda I) = 0, ou lambda est une valeur propre, A ta matrice et I la matrice identité.
Ca revient a ecrire
M = (2-lambda 1 1)
(1 4-lambda 1)
(1 1 2-lambda)
et a chercher det(M) = 0.
si lambda = 1, les colonnes C1 et C3 valent (1, 1, 1) sont liées et donc le déterminant est nul.
tu as donc ton polynome de la forme (lambda - 1)(alambda^2+blambda+c)
tu peux donc dévleopper comme un porc puis identifier :)

par **Artofacto** » 28 Aoû 2010, 01:09

Merci pour ta réponse!

C'est déjà plus clair mais tu pourrais développer un peu plus les calculs, parce que je trouve que 1 est valeur propre mais je n'arrive pas à factoriser correctement le polynôme pour trouver les 2 autres valeurs propres...
En tout cas merci pour ton aide! :D

par **fatal_error** » 28 Aoû 2010, 01:26

en developpant sur la premiere colonne:
(2-a)[(4-a)(2-a)-1] -1[2-a-1] +1[1-(4-a)] = 0
a vauat lambda c'est juste plus court à ecrire.
on developpe et on a
termes en a^3 :
-1
termes en a^2:
2+2+4 = 8
termes en a:
-8-12+1+1=-18
termes en 1:
14-1-3=10

on dev notre polynome classique
(x-1)(ux^2+vx+w)
et on a :
u = 1 (termes en x^3)
w = -10 (termes en 1)
termes en x :
-v+w = -18
soit v = 8

et on verifie avec les termes en x^2
-u+v = -1+8=7
et ca correspond pas! donc il faut persévérer. mais là jai plus envie de faire l'encéphalogramme plat. donc jte souhaite bonne courage :D

par **girdav** » 28 Aoû 2010, 09:07

Une petite magouille :

par **Artofacto** » 28 Aoû 2010, 11:34

Merci girdav!!! Tu es mon sauveur! excellente journée à toi!!! :)))))

par **girdav** » 28 Aoû 2010, 11:37

Artofacto a écrit:Merci girdav!!! Tu es mon sauveur! excellente journée à toi!!! ))))

De rien. Mais vérifie tout de même les calculs.

Détermination des valeurs propres d'une matrice 3*3

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And the eigenvalues are...

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