Valeurs propres vecteurs propres d'un produite de matrice

[babie9]

Bonjour,

Je cherche les propriétées ou théorèmes existant sur les valeurs propres et vecteurs propres d'un produit de deux matrices.
Je sais (par simulation) que les valeurs propres de AB sont les mêmes que celles de BA et que les vecteurs propres sont différents, mais je crois qu'il existe un relation entre les deux.

Merci c'est urgent

Babie

[yos]

ABX=kX entraîne BABX=kBX.
Autrement dit : si X est vecteur propre de AB pour la vp k, alors BX est vecteur propre de BA pour la vp k ou bien est le vecteur nul.

[babie9]

oki merci beaucoup.
On m'avait donné un truc du même style mais faux en simulation!!! je comprennais pas!!!

Petite question bis : Dans quel reference je peux trouver ce resultats?

Encore merci
Babie

[serge75]

Effectivement, AB et BA ont même spectre, car même polynôme caractéristique.
En effet, si A est inversible :
det(AB-XI)=det(A(B-XA') (je note A' l'inverse de A).
On poursuit : ...=det((B-XA')A)=det(BA-XI).
Si A n'est pas inversible, on sait que A est alors limite d'une suite de matrices inversibles, notée (An). Par continuité du déterminant (c'est une application n-linéaire des colonnes, donc continues des colonnes, puis de la matrice) :
det(AB-XI)=lim(det(AnB-XI))=lim(det(BAn-XI))=det(BA-XI).