Pb dm équation différentielle

[seblemyxdu58]

bonjour, J'ai un probleme avec une question d'un dm.

Un corps est placé dans une enceinte dont on maintient la temperature constante égale à 20 °C.
A l'instant t=0, sa température est égale à 70 °C, après 5 minutes, elle est de 60 °C.
La temperature du corps est une fonction T du temps t, définie sur [0 ; plus l'infini[ ; la loi de refroidissement de Newton énoncé T' est proportionnelle à :
T-20

1) Justifier que la fonction f : t ;) T(t)-20 est solution sur [0 ; +l'infini[ d'une équation différentielle de la forme y'=ky ; puis déterminer T.

j'espere que vous pourrez m'aider
merci

[Huppasacee]

Bonjour
Ton énoncé dit :
La temperature du corps est une fonction T du temps t, définie sur [0 ; plus l'infini[ ; la loi de refroidissement de Newton énoncé T' est proportionnelle à :
T-20

Cela se traduit par
T' = k (T - 20 )

[seblemyxdu58]

donc on dit directement que c'est de la forme y'=ky ?

[seblemyxdu58]

pour déterminer T on dit que c de la forme T=C*exp(k*t)

or T(0)=70 donc C=70
T(5)=60 donc 60=70*exp(5*k)
6/7=exp(5*k)
ln(6/7)=5*k
k=(ln6-ln7)/5


donc T=70 exp(((ln6-ln7)/5)*t)

c'est ca?

[Huppasacee]

La solution générale de l'équation différentielle est

T = A e^-kt + B

Détermination de B

lim quand t tend vers infini de T =

Or quelle sera la température au bout d'un temps assez grand dans les conditions de l'expérience ? donc B = ...

ensuite T(0) =

T(5) =
on en déduit A et k

[seblemyxdu58]

lim quand t tend vers infini de T = 20
donc B = 20

T(o)=A exp(-k*0)+20
donc A=50

T(5)=50 exp(-5k)+20
donc 30=50exp(-5k)
donc 3/5=exp(-5k)
donc ln(3/5)=-5k
donc k=ln(3/5)/-5

est ce juste ?