[Résolu] équation diff

[haricot29]

coucou les gens...
alr voila j'ai réussi la question 1/a/
dire que g est solution de (En)
g'(x) + g(x) = [(x^n)/(n!)] * e^(-x)
h'(x)e^(-x) - h(x)e^(-x) + h(x)e^(-x) = [(X^n)/(n!)] * e^(-x)
h'(x) = (x^n)/(n!)

mais la 1/b/ je ne comprend pas trop
une amie me dit de faire par intégration de l'équation précédente
en écrivant : h(x) = (x^(n+1))/(n!(n+1))
puis h(x) = (x^(n+1))/(n+1)!

mais je ne comprend pas pourquoi ?! Si quelqu'un pouvait m'expliquer ... Merci d'avance

[fonfon]

salut,

si h est dérivable et si, pour tout x ds R, g est derivable et pour tout x on a:





on deduit de ça que:


donc g est solution de (En) ssi pour tout x ds R,

et comme e^(-x) est non-nul:

on a bien


pour determiner h il faut bien integrer la fonction h'(x)

on a

donc pour tout x ds R, on a:
avec k ds R

comme h(0)=0 k=0 donc

maintenant tu peux trouver l'expression de g(x)

[haricot29]

a ok d'accord détaillé comme tu l'as fait je comprends mieux merci !

[fonfon]

y-a pas de quoi

[haricot29]

PARTIE I

alr la suite :
2)a)
dire que p est solution de (En)
p'(x) + p(x) = (x^n)/(n!) * e^(-x)
Or g est solution de cette meme équation donc :
p'(x) + p(x) -g'(x) -g(x) = 0
(p-g)'(x) + (p-g)(x) = 0
donc (p-g) est solution de l'éq y'+y=0

2)b)
y(x) = Ce^(-x)

2)c)
dire que p est solution de (En) dire que (p-g) solution de (F)
(p-g)(x) = Ce^(-x)
p(x) = Ce^(-x) + g(x)
p(x) = Ce^(-x) + [(x^(n+1)/(n+1)!] * e^(-x)

2)d)
la solution f est : p(x) = [(x^(n+1)/(n+1)!] * e^(-x)

PARTIE II

1)a)
f'1(x) + f1(x) = e^(-x) - xe^(-x) + xe^(-x) = fo(x)

1)b)
initialisation :
n=1 ; f1(x) = xe^(-x)

hérédité:
soit n sup ou égal à 1
supposons fn(x) = [(x^(n)/(n)!] * e^(-x)
montrons f(n+1)(x) = [(x^(n+1)/(n+1)!] * e^(-x)

démonstration :
--> la je n'y arrive pas car ils disent d'utiliser la partie I est je ne vois psa comment ?!

[haricot29]

svp quelq'un peut me filer un coup de pouce sur cette récurrence ?!

[fonfon]

re,

alr la suite :
2)a)
dire que p est solution de (En)
p'(x) + p(x) = (x^n)/(n!) * e^(-x)
Or g est solution de cette meme équation donc :
p'(x) + p(x) -g'(x) -g(x) = 0
(p-g)'(x) + (p-g)(x) = 0
donc (p-g) est solution de l'éq y'+y=0

je rédigerais comme ça (je chipote)

comme g est solution de (En), est solution de (En) ssi cad

la fonction est solution de (En) ssi est solution de (F) y'+y=0

2)b)
y(x) = Ce^(-x)

ok

2)c)
dire que p est solution de (En) dire que (p-g) solution de (F)
(p-g)(x) = Ce^(-x)
p(x) = Ce^(-x) + g(x)
p(x) = Ce^(-x) + [(x^(n+1)/(n+1)!] * e^(-x)

ok

2)d)
la solution f est : p(x) = [(x^(n+1)/(n+1)!] * e^(-x)

c'est f(x)=[(x^(n+1)/(n+1)!] * e^(-x)

svp quelq'un peut me filer un coup de pouce sur cette récurrence ?!

on definit par récurrence:

pour , est solution de qui s'annule en 0

on sait d'apres 1 que est la fonction définie par

on suppose que est la fonction definie par

la fonction est alors la solution qui s'annule en 0 de

c'est à dire la solution qui s'annule en 0

or d'après A.2.d on a pour tout x réel:

[haricot29]

on definit par récurrence:

pour , est solution de qui s'annule en 0

on sait d'apres 1 que est la fonction définie par

on suppose que est la fonction definie par

la fonction est alors la solution qui s'annule en 0 de

c'est à dire la solution qui s'annule en 0

or d'après A.2.d on a pour tout x réel:

je ne comprends pas pourquoi : la fonction est alors la solution qui s'annule en 0 de
j'avoue que la démonstration proposée ne m'éclaircie pas trop les idées...

[fonfon]

on suppose que

pour , f_n est solution de y'+y=f_n-1
or tu as montrer en 1 que

f_1 est solution de y'+y=f_0

et on suppose que f_n est la fonction definie par f_n(x)=(x^n/n!)e^(-x)

donc f_n+1(x) est la solution de y'+y=f_n(x)

[haricot29]

a ok d'accord je vois , je n'avais pas penser a généraliser l'équation y'+y=fn
tel que f(n+1) en été la solution !

[fonfon]

généralement quand tu as un grand exercice comme ça la recurrence est souvent immédiate

[haricot29]

merci beaucoup pour ton aide je vais ouvrir un nouveau topic si ça te dit... -> probleme d'encardrement