Taille idéal pour une boite rectangulaire

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Quitte à répondre à la place du demandeur, autant donner une réponse simple
Notons la longueur, la largeur, la hauteur.
Le volume est , son gradient est .
La surface est , son gradient est .
On écrit que les deux gradients sont colinéaires en annulant des déterminants , ce qui nous donne (en utilisant le fait que ) et . Il ne reste plus qu'à utiliser pour obtenir en fonction de .

[mathelot]

On écrit que les deux gradients sont colinéaires

Que signifie cette propriété ?
Quelle propriété possède le point solution (4,2,6) ? comment sait on que ce sont les coordonnées du minimum de la surface ? Comment ça se fait que par ta méthode on ait aucun point critique ?

[GaBuZoMeu]

On a bien un (et un seul) point critique. On cherche un point critique de la fonction sur la surface , intersectée avec l'octant positif. Pour un tel point critique, le gradient de et le gradient de sont colinéaires. Autrement dit, la différentielle de s'annule sur le plan tangent à la surface de niveau de .
C'est le procédé habituel pour chercher les points critiques d'une fonction sur une hypersurface donnée par son équation.

[tournesol]

Joli coup pour éviter le Lagrangien, GaBuZoMeu.

[mathelot]

On cherche un point critique de la fonction sur la surface , intersectée avec l'octant positif. .

il reste à démontrer que le point critique correspond à un minimum de la surface?

[GaBuZoMeu]

Vu qu'il y a un seul point critique, ce ne peut être qu'un minimum.

[mathelot]

pour l'instant, c'est un minimum local ? il ne faudrait pas montrer qu'il est global ?

[mathelot]

re-bonjour,
j'ai trouvé dans une doc de prépa agreg un théorème qui convient:

Théorème Soient des fonctions réelles de classe C1 sur un ouvert U de .
On note X l'ensemble des x U tels que:

Si admet un extremum local en a et si les formes linéaires sont indépendantes
alors il existe dans tels que:

autrement dit , les formes linéaires sont liées.

on pose alors: f(x,y,z)=3xy+2yz+xz et g(x)=xyz-48

[tournesol]

Bonsoir GaBuZoMeu
on est sur l'ouvert x>0 et y>0 et z>0
un point critique n'est donc pas nécessairement un extremum,meme si la fonction est minorée par 0 sur cet ouvert.

[GaBuZoMeu]

On est dans l'octant positif, mais on est aussi sur la surface . Donc, en dehors de , la fonction est minorée par qui tend vers quand tend vers 0.
Le seul point critique de sur la surface est donc obligatoirement le minimum.

[tournesol]

Bonjour GaBuZoMeu,
Je ne comprends pas ce que représente m.
De plus le volume V est bien un fermé de l'octant positif mais ce n'est pas un compact.Il n'y a donc pas de raison qu'il contienne sa borne inférieure.

[GaBuZoMeu]

est un réel strictment positif.
Pour tout réel , la partie de la surface (avec ) située dans est compacte (tu vois pourquoi ?) et en dehors de , la fonction sur cette surface est minorée par (tu vois pourquoi ?), qui tend vers quand tend vers 0.
Donc atteint son minimum sur la surface, et ce minimum est forcément le seul point critique de sur cette surface.

[tournesol]

C'est subtil GaBuZoMeu et merci.
Pour tout m>0 ,je note , et
V est fermé car image réciproque du fermé {48u^2} par xyz. est fermé.
Donc est fermé.
Si (x,y,z) appartient à , alors x,y,et z sont inférieurs ou égaux à ,
et donc compris entre m et .
Ainsi est fermé et borné donc compact en dimension finie.
En dehors de :
Si par exemple z<m , alors xyz<mxy et donc
Ainsi
Soit m>0 . S admet un minimum f(m) sur le compact
Il existe 0<m'<m tel que S>f(m) sur V \ Vm'
Soit 0<m"<m' . Sur V\Vm", S>f(m) , mais aussi sur V inter la frontière de
Le minimum de S est donc atteint à l'intérieur de
Il y a donc sur V un point critique qui correspond au minimum de S et comme il n'y a qu'un seul point critique.......

[GaBuZoMeu]

Tu appelles la surface dans l'octant positif, je préfère l'appeler pour éviter la confusion avec le volume. La fonction est propre sur (ce qui signifie que l'image réciproque d'un compact par est compacte) et est minorée. Sa borne inférieure est donc atteinte.

[tournesol]

Je dois réviser , GaBuZoMeu.Encore merci pour tes lumières.

[mathelot]

On note que pour m suffisamment petit, n'est pas vide.

[mathelot]

Bonsoir,
Voilà je bloque, sur un exercice de pédagogie par problème. Voici l'énoncé :
Je vous remercie pour l'aide d'avance .
Merci.

llivsedri Bonjour,
si tu suis le programme de CRPE ou de prépa CAPES, tu peux admettre que la fonction S(x,y,z)=3xy+xz+2yz atteint un minimum sur l'ensemble

[tournesol]

J'ai l'intuition (et une petite idée) que ton résultat peut être infirmé par un contre exemple.
GaBuZoMeu a utilisé la spécificité dela fonction S pour montrer qu'elle tend vers +l'infini en dehors de.....
Pour moi, la belle méthode de notre collègue GaBuZoMeu peut être vue comme une astuce marginale.

[GaBuZoMeu]

Je ne comprends pas bien ton dernier message, tournesol. De quel résultat parles-tu ?

[mathelot]

La différence entre une astuce et une méthode, c'est qu'une méthode est une astuce qui ressert plusieurs fois.