J'ai déjà écrit ce que j'en pensais, je ne vais pas me répéter.
J'ajoute que la notion de propreté d'une application continue est très importante, autant que la notion de compacité : c'est en fait la version relative de la compacité, un espace topologique
est compact si et seulement si l'application
est propre.
La fonction que tu prends en exemple est minorée et elle a un seul point critique qui n'est pas un minimum (pas même un minimum local) ; c'est normal car elle n'est pas propre.
De façon imagée, une fonction continue sur un fermé non compact d'un espace affine est propre quand elle tend vers l'infini quand on part à l'infini sur le fermé. On comprend assez bien que c'est ce qui se passe dans l'exercice pour la fonction "Surface" sur une surface de niveau de la fonction "Volume". Et on voit tout de suite que ce n'est pas le cas pour la fonction de ton exemple.