Théorie des anneaux

[MaitreMoulax]

Bonsoir, je souhaite montrer que {Z/5Z}/⟨f(x)⟩ est un corps, de caractéristique , et contenant éléments, avec .

Je suppose qu'il faut montrer en premier que f(x) est irréductible dans Z/5Z mais je n'y arrive pas. Si on suppose que f(x) n'est pas irréductible, alors il peut s'écrire comme le produit de deux polynômes non-inversibles. Je ne parviens pas a trouver de contradiction. Pouvez-vous m'aider? Merci!

[Ben314]

Salut,
Vu que ton polynôme est le polynôme unitaire de degré 2 générique (i.e. absolument quelconque : tu n'a aucune hypothèses sur a et b), il est évident qu'il ne peut pas être systématiquement irréductible. Si tu développe par exemple (X-2)(X-1) c'est bien clair que le résultat est un polynôme de degré 2 non irréductible !!!!!!

Sinon, pour les polynômes de degré deux (et trois), "être irréductible" c'est la même chose que "ne pas avoir de racine".
Et tu as du voir dés le Lycée ce qu'on appelle "la forme canonique" d'un polynôme du second degré qui permet de voir qu'un tel polynôme admet des racines si et seulement si son discriminant est un carré du corps considéré.

[MaitreMoulax]

Merci pour votre réponse. Donc ne pas avoir de racine suffit pour qu'un polynôme soit irréductible d'après la proposition que vous avez énoncé.

Ici le discriminant est , pouvez-vous être plus explicite sur le "carré du corps considéré"?
Je vous remercie pour votre temps.

Je suis un peu mélangé car ici nous ne somme pas dans R ou C, mais bien dans Z/5Z

[GaBuZoMeu]

Quels sont les carrés dans ?

[Ben314]

Donc ne pas avoir de racine suffit pour qu'un polynôme soit irréductible d'après la proposition que vous avez énoncé.

Faire attention aussi au fait que ça, c'est LE truc à ne jamais écrire sans préciser (écrit en rouge et souligné 5 fois) que ce n'est vrai QUE pour les polynômes de degré 2 ou 3. Et ça vient tout bêtement du fait que, si un polynôme de degré 2 ou 3 est factorisable, alors il admet forcément (au moins) un facteur de degré 1.
Par contre, il est bien clair que c'est complètement faux à partir du degré 4 : X^4+1 est clairement sans racine sur R [car x^4+1>0 pour tout réel x] et il est tout aussi clairement non irréductible dans R vu que la théorie nous dit que seul les polynômes de degré 1 et ceux de degrés 2 à discriminant <0 sont irréductible dans R.

Remarque : On peut aussi le voir sans aucune théorie en constatant que